Approximabilité du problème du genre

Que sait-on actuellement de l'approximation du problème du genre? Une recherche préliminaire m'indique qu'une approximation à facteur constant est triviale pour des graphes suffisamment denses, et un algorithme d'approximation a été exclu. Ces informations sont-elles à jour ou existe-t-il de meilleures limites connues?$n^\epsilon$

Les meilleurs résultats publiés apparaissent tous dans un article de 1997 de Jianer Chen, Saroja P. Kanchi et Arkady Kanevsky.

• Pour tout fixe $\varepsilon>0$, le calcul du genre d'un graphe avec l' erreur additive $O(n^\varepsilon)$ est NP-difficile.

• $n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• Il existe un algorithme d'approximation en temps polynomial pour les graphes à degrés bornés.$O(\sqrt{n})$

Il s'agit de savoir s'il existe un algorithme d'approximation à facteur constant efficace.

Je voulais ajouter à la réponse complète de Jɛ ff E qu'à ma connaissance, il n'y a pas de limites inférieures pour le facteur d'approximation de ce problème. À notre connaissance, il peut exister un algorithme d'approximation qui donne toujours une approximation à facteur constant (même si le genre est très petit).

L'article Chen, Kanchi et Kanevsky [CKK '97] dit seulement que le calcul du genre avec l'erreur additive est NP-difficile. Voici un aperçu très informel de leur argument. Il sera clair que cet argument ne peut pas être utilisé pour prouver une borne inférieure du facteur d'approximation. Considérons un graphe tel qu'il est difficile de déterminer si ou (pour certains ) ; un tel graphique existe car le problème est NP-difficile. Laissez le nombre de sommets . Soit une grande constante. Prenez copies disjointes du graphiqueG $O(n^{1-\varepsilon})$$G$g e n u s ( G ) ≥ g ∗ + 1 g ∗ n G k N = n k G G ′ g e n u s ( G ′ ) ≤ N g ∗ g e n $\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$et considérer leur union. Ensuite, dans le graphe obtenu , il est difficile de déterminer si ou . Autrement dit, il est NP-difficile de calculer avec l'erreur additive , où . Cette construction ne nous donne pas de borne inférieure sur le facteur d'approximation; le rapport de à est égal au rapport de à .$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$g e n u s ( G ′ ) N = ( N n ) k / k + 1 = | V ( G ′ ) | k / k + 1 = | V ( G ′ ) | 1 - ε ε = 1 $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$N ( g ∗ + 1 ) N g ∗ g ∗ + 1 g $\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$