Problèmes pouvant être utilisés pour afficher les résultats de dureté en temps polynomial

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Lors de la conception d'un algorithme pour un nouveau problème, si je ne trouve pas d'algorithme temporel polynomial après un certain temps, je pourrais essayer de prouver qu'il est NP-difficile à la place. Si je réussis, j'ai expliqué pourquoi je ne pouvais pas trouver l'algorithme temps polynomial. Ce n’est pas que je sache avec certitude que P! = NP, c’est simplement que c’est ce qui se fait de mieux avec les connaissances actuelles, et de fait, le consensus est que P! = NP.

De même, supposons que j'ai trouvé une solution polynomiale pour certains problèmes, mais que le temps d'exécution soit . Après beaucoup d'efforts, je ne fais aucun progrès pour améliorer cela. Donc, au lieu de cela, je pourrais essayer de prouver que c'est plutôt 3SUM-hard. Cela est généralement un état satisfaisant des choses, non pas à cause de ma croyance suprême que 3sum ne nécessite en effet du temps, mais parce que c'est l'état actuel de l'art, et beaucoup de gens intelligents ont essayé de l' améliorer, et ont échoué. Donc ce n’est pas de ma faute si c’est le mieux que je puisse faire. $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

Dans de tels cas, le mieux que nous puissions faire est d'obtenir un résultat de dureté, au lieu d'une limite inférieure réelle, car nous n'avons pas de limite inférieure super-linéaire pour Turing Machines pour les problèmes de NP.

Existe-t-il un ensemble uniforme de problèmes pouvant être utilisés pour toutes les durées d'exécution polynomiales? Par exemple, si je veux prouver qu'il est peu probable qu'un problème ait un algorithme meilleur que , existe-t-il un problème X tel que je puisse montrer qu'il est X-hard et en rester là? $O(n^7)$

Mise à jour : Cette question visait à l'origine les familles de problèmes. Puisqu'il n'y a pas beaucoup de familles de problèmes et que cette question a déjà reçu d'excellents exemples de problèmes difficiles individuels, je me limite à la question qui peut être utilisée pour obtenir des résultats de dureté en temps polynomial. J'ajoute également une prime à cette question pour encourager plus de réponses.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Robin Kothari
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5

La page maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html résume certains résultats concernant les limites inférieures (et supérieures) de 3SUM et les problèmes connexes et mérite d'être lue.

— Tsuyoshi Ito

2

L'absence de limite inférieure super-linéaire est pour un TM avec au moins deux bandes, n'est-ce pas? Je me souviens d'avoir lu quelque part que la recherche d'un palindrome sur une MT à bande unique avait une limite inférieure dans le temps quadratique. Quand nous parlons de bornes inférieures dans

, du type

vs

, est-il encore acceptable de supposer que le modèle exact de TM n’a pas beaucoup d’importance?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

3

Hors sujet: Robin, Tsuyoshi, merci d’avoir présenté la famille des limites inférieures 3SUM: je n’en avais jamais entendu parler auparavant.

— gphilip

2

@Tsuyoshi: Merci pour l'information. Ceci est une belle enquête sur le sujet: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf . @ gphilip: Certains géomètres de calcul m'ont récemment présenté ce problème. Je suppose que c'est très bien connu dans ce domaine.

— Robin Kothari

Excellente question. Pourriez-vous préciser ce que vous entendez par "uniforme": voulez-vous limiter la quantité de prétraitement du paramètre?

— András Salamon

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Oui, le meilleur algorithme connu pour séries -sum en le temps, il est donc très possible que vous pourriez arguer certains problème est difficile, parce que si elle est en alors vous pouvez résoudre - Somme plus vite. $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

$k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

$k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

$3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— Ryan Williams
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4

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

n^{2}

$n^2$

@ Ryan: Vous avez raison, ce sont les mêmes. Bien que, avec k-SUM, nous avons au moins la preuve dans des modèles plus faibles que la borne conjecturée est correcte. Je ne connais aucun argument suggérant que la 3-clique ne devrait pas pouvoir être résolue plus rapidement que la multiplication matricielle.

— Robin Kothari

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

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$\Omega^\star(n^3)$

— Mihai
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2

Comment sur le diamètre d'un graphique? Mieux encore, faites-en un problème de décision "Le diamètre est-il au moins égal à k?". Cela a l'avantage de ne pas avoir de borne superlinéaire évidente, à ma connaissance.

— Raphaël

9

$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled et DM Mount, sur le problème du carré le moins médian, géométrie discrète et computationnelle, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson et R. Seidel. Meilleure limite inférieure pour la détection des dégénérescences ne et sphériques. Discrete Comput. Geom., 13: 41-57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J. Erickson. Nouvelles limites inférieures pour les problèmes de coque convexe aux dimensions impaires. SIAM J. Comput., 28: 1198-1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Guilherme D. da Fonseca
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J'aime cette réponse, mais pourriez-vous expliquer? Pourquoi est-ce cru?

— Aaron Sterling

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Jeffε
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7

Y at-il des problèmes non géométriques qui réduisent au problème de Hopcroft?

— Suresh Venkat

J'ai décidé d'attribuer la prime à cette réponse parce que je n'avais jamais entendu parler de ce problème auparavant.

— Robin Kothari