Propriétés graphiques naturelles et non testables

Dans les tests de propriétés de graphe, un algorithme interroge un graphe cible pour la présence ou l'absence d'arêtes et doit déterminer si la cible a une certaine propriété ou est $\epsilon$ loin d'avoir la propriété. (Un algorithme peut être demandé pour réussir avec une face ou deux faces d' erreur.) Un graphe est $\epsilon$ si aucun -Far d'avoir une propriété bords peuvent être ajoutées / soustraites pour le rendre avoir la propriété. $\epsilon \binom{n}{2}$

Une propriété est dite testable si elle peut être testée de la manière spécifiée ci-dessus dans un nombre sub-linéaire de requêtes, ou mieux encore, dans un certain nombre de requêtes indépendantes de (mais pas ). La notion de propriétés peut également être formalisée, mais elle doit être claire. $n$ $\epsilon$

Il existe de nombreux résultats caractérisant les propriétés testables, avec de nombreux exemples de propriétés testables naturelles. Cependant, je ne connais pas de nombreuses propriétés naturelles qui ne sont pas testables (disons dans un nombre constant de requêtes) - une que je connais est de tester l'isomorphisme d'un graphique donné.

Donc, ma question est: quelles propriétés naturelles des graphes ne sont pas testables?

— Lev Reyzin
source

(1) Pour clarifier, recherchez-vous de telles propriétés dans le modèle matriciel adjacent? Dans le modèle de liste d'adjacence (qui est différent de la formulation que vous avez écrite), de nombreux problèmes nécessitent plus qu'un nombre constant de requêtes. (2) Vous le savez probablement, mais Goldreich, Goldwasser et Ron (proposition 10.2.3.2 de JACM 1998 ) prouvent qu'il existe une propriété de graphe (pas nécessairement naturelle) dans NP qui nécessite des requêtes Ω (n ^ 2) en utilisant le méthode probabiliste.

— Tsuyoshi Ito du

Merci - le modèle de matrice d'adjacence est très bien. Je connais leur résultat, mais j'aimerais des propriétés naturelles explicites, par opposition à l'existence de certaines propriétés.

— Lev Reyzin

Je ne suis pas sûr à ce sujet, donc je ne l'énumère pas comme réponse, mais je pense que la capacité de Shannon d'un graphique

Θ (G)

$\Theta(G)$ n'est pas testable. mathworld.wolfram.com/ShannonCapacity.html

— Dimitris

Dans le modèle de matrice d'adjacence, il existe une limite inférieure de sur la complexité de la requête de test pour savoir si un graphe sommet se compose de deux copies isomorphes d'un graphe -texte (voir Introduction aux tests des propriétés du graphe - Goldreich pour une enquête). $\Omega(n)$ $n$ $n/2$

En outre, il existe de nombreuses limites inférieures qui dépendent de pour les testeurs avec une erreur unilatérale, par exemple: testing -Clique, -Cut et -Bisection (voir Test de propriété et sa connexion à l'apprentissage et à l'approximation - Goldreich , Goldwasser, Ron ) $n$ $\rho$ $\rho$ $\rho$

De plus, dans le modèle de graphe à degrés bornés, le test de la 3-Colorabilité nécessite des requêtes , tandis que le test de 2-Colorability (c'est-à-dire la bipartite) nécessite (voir Test de propriétés dans les graphiques de degrés bornés - Goldreich, Ron ). $\Omega(n)$ $\Omega(\sqrt n)$