matrices similaires

Étant donné deux matrices A et B , le problème de décider s'il existe une matrice de permutation P telle que B = P - 1 A P est équivalent à (Isomorphisme graphique). Mais si nous relaxons P pour n'être qu'une matrice inversible, alors quelle est la complexité? Existe-t-il d'autres restrictions sur une matrice P inversible , en plus d'être une permutation, qui relient ce problème à d' autres problèmes difficiles?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Les matrices A et B dont les éléments sont dans un champ F sont similaires (dans F ) si et seulement si elles ont la même forme normale de Frobenius . Selon une recherche rapide, il semble que la forme normale de Frobenius d'une matrice n × n peut être calculée avec des opérations sur le terrain O ( n ³ ) [Sto98], et que cela peut être amélioré en quelque chose de comparable à la complexité de la multiplication matricielle [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Un algorithme O ( n ³ ) pour la forme normale de Frobenius. Dans Actes du Symposium international de 1998 sur le calcul symbolique et algébrique (ISSAC) , pp. 101-105, août 1998. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann. Calcul déterministe de la forme Frobenius. In 42nd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS) , pp. 368–377, octobre 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Il existe en effet d'autres restrictions sur qui relient ce problème à l'IG. Par exemple, si l'on exige que P soit un produit Kronecker (tenseur) P 1 ⊗ P 2 ⊗ P 3 , alors le problème résultant est aussi difficile que l'équivalence des tenseurs 3-valents, ce qui est à peu près la même complexité que l'équivalence du code linéaire, qui à son tour est connu pour être GI-dur (mais pas connu pour être équivalent à GI).$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

Un autre point de vue sur votre question, qui peut éclairer la situation générale, est le suivant. Pour toute action de groupe de sur un ensemble X n (un pour chaque n ), on peut s'interroger sur la complexité de décider si deux points donnés x , y ∈ X n sont dans la même orbite G n ; appelons cela le problème de l'orbite pour cette (famille de) action (s). Votre question porte alors essentiellement sur la complexité des problèmes d'orbite qui peuvent être formulés comme suit: étant donné une action linéaire d'un groupe G n sur un espace vectoriel V $G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$, considérons le problème de l'orbite de l' action induite de (par conjugaison) sur X n = V n ⊗ ( V n ) ∗ .$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

Pour l'isomorphisme du graphe, nous avons et V n = R n avec l'action naturelle en permutant les coordonnées. Pour la conjugaison matricielle, nous avons G n = GL n ( F ) dans son action naturelle sur V n = F n . Pour l'exemple ci-dessus, nous avons G n = GL a × GL b × GL c dans son action naturelle sur V n = F a ⊗ $G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$