Propriétés des graphiques dirigés aléatoires avec un degré de sortie fixe

Je m'intéresse aux propriétés des graphes dirigés aléatoires à degré fixe fixe $d$ . J'imagine un modèle de graphique aléatoire où chaque sommet choisit d voisins (disons, avec remplacement) uar

Question : Connaît-on la distribution stationnaire et les temps de mélange des marches aléatoires sur ces graphiques aléatoires (pour différentes valeurs de )? $d$

Je m'intéresse particulièrement au cas où , qui correspond à un modèle d'automates aléatoires sur un alphabet booléen. (Oui, je réalise que ces graphiques ne sont souvent pas connectés, mais que se passe-t-il dans un composant donné?) Je suis satisfait des résultats partiels et des résultats concernant les autres propriétés de ces graphiques. $d = 2$

Il semble que la majeure partie de la littérature sur les graphiques aléatoires se concentre sur le modèle Erdős-Rényi, qui a des propriétés très différentes de celles du modèle auquel je pense.

— Lev Reyzin
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Je peux offrir ceci: si vous recherchez l'expression «coefficient de regroupement», vous trouverez peut-être plus de documentation qui s'y rapporte. J'ai décidé que j'étais intéressé par d'autres choses, donc je ne me souviens pas des détails.

— Aaron Sterling

vous devriez rechercher des modèles de graphiques Web (commencer par le papier Aiello / Chung ( projecteuclid.org/… ) et continuer). Il est possible que vous trouviez des modèles intéressants de graphiques Web. Regardez également les travaux récents de Christos Faloutsos

— Suresh Venkat

merci pour le pointeur - j'ai regardé le travail de Chung et cet article - bien qu'ils considèrent des modèles intéressants, ils ne considèrent malheureusement pas le mien ...

— Lev Reyzin

Vous suggérez que le processus se produit avec remplacement. Est-ce à dire que vous autorisez les multidigraphies (avec éventuellement plusieurs arcs de s à t)?

— András Salamon

C'est vrai - dans la marche aléatoire, vous prenez chaque bord équitablement, et avec plusieurs arcs, vous augmentez la probabilité d'une transition donnée (et nous autorisons également les boucles auto). Cependant, si vous souhaitez répondre à la question du choix des bords sans remplacement, c'est bien aussi.

— Lev Reyzin

Réponses:

Dans le cas non orienté, les graphes aléatoires irréguliers sont des expanseurs à forte probabilité (pas pour , mais je pense que suffit), ce qui implique que le temps de mélange des marches aléatoires est . Je ne me souviens pas assez de ces preuves pour savoir si tout se passe dans le cas dirigé (certaines propriétés sont certainement différentes: la distribution uniforme n'est plus stationnaire), mais cela vaut peut-être la peine d'être examiné. Les bonnes références pour les graphiques d'expansion sont les graphiques d'expansion et leurs applications par Hoory, Linial et Wigderson et Pseudorandomness par Vadhan. $d$ $d=2$ $d \ge 3$ $O(\log n)$

— Ian
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Merci - c'est une bonne référence. J'avais déjà vu ce travail mais je l'ai oublié. Cela vaut certainement la peine de passer par leur preuve.

— Lev Reyzin

Connaissez-vous les travaux suivants (et leurs références)? (Il est également disponible sur arXiv.)

Bohman, T. et Frieze, A. (2009), Hamilton fait un cycle à 3 sorties. Random Structures & Algorithms, 35: 393–417. doi: 10.1002 / rsa.20272

— RJK
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merci - c'est un résultat intéressant, mais avoir un cycle hamiltonien est loin du type de propriété auquel je pense.

— Lev Reyzin

Hm, peut-être que je prenais trop littéralement "Je suis satisfait des résultats partiels et des résultats sur les autres propriétés de ces graphiques". Pour moi, il semble que le modèle k-out soit très proche du modèle qui vous intéresse et enquêter sur les résultats passés sur k-out serait fructueux, d'autant plus que l'hamiltonicité et le mélange rapide peuvent être considérés comme des formes renforcées de connectivité dans modèles de graphes aléatoires.

— RJK

vous avez raison - c'est en effet un résultat sur une propriété de ces graphes, et éventuellement utile. Je ne peux pas vous donner la réponse acceptée, mais certainement une upvote :)

— Lev Reyzin

Cherchez-vous toujours le problème? Cet article est en fait un peu pertinent: Alan Frieze, Páll Melsted et Michael Mitzenmacher, " An Analysis of Random-Walk Cuckoo Hashing ", 2009.

— Kaveh
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avez-vous un lien pour cela?

— Suresh Venkat