Une notion de circuits quantiques monotones

Dans la complexité de calcul, il existe une distinction importante entre les calculs monotones et généraux et un célèbre théorème de Razborov affirme que le 3-SAT et même MATCHING ne sont pas polynomiaux dans le modèle des circuits booléens monotones.

Ma question est simple: existe-t-il un analogique quantique pour les circuits monotones (ou plus d'un)? Existe-t-il un théorème quantique de Razborov?

Vous posez vraiment deux questions différentes et espérez qu'il y ait une seule réponse qui répond aux deux: (1) Quelles sont les notions naturelles des circuits monotones quantiques? (2) À quoi ressemblerait un résultat quantique de type Razborov sur réseau?

Il n'est pas évident de savoir comment atteindre les deux en même temps, donc je vais décrire ce qui me semble une notion raisonnable de circuits monotones quantiques (sans indiquer s'il existe ou non un résultat Razborov correspondant), et une notion complètement différente de à quoi ressemblerait une conjecture quantique «naturelle» de Razborov (sans indiquer si elle est vraisemblablement vraie).

Ce que nous voulons du quantum

Comme je le remarque dans les commentaires, je pense qu'il n'est pas nécessaire d'essayer de faire entrer la notion de circuits monotones dans un moule d'unité. Que ce soit dans le fait que l'évolution avec le temps n'a pas besoin de préserver la base standard, ou dans le fait qu'il existe de multiples bases de mesure dans lesquelles les résultats peuvent être enchevêtrés, je pense que la condition sine qua non du calcul quantique est le fait que le la base standard n'est pas la seule base. Même parmi les états du produit, il est dans certaines implémentations défini uniquement par un choix de cadre de référence.

Ce que nous devons faire est de considérer les choses de manière à retirer la base standard de sa place privilégiée traditionnelle - ou, dans ce cas, autant que possible tout en conservant une notion significative de monotonie.

Un modèle simple de circuits monotones quantiques

Considérons un modèle de circuit qui est implicite dans le commentaire de Tsuyoshi Ito sur les "canaux quantiques monotones" (et qui est à peu près ce que l'on doit faire si l'on veut une notion de "circuit" qui ne se limite pas à l'évolution unitaire).

Soit l'espace des opérateurs hermitiens sur (de sorte qu'il contienne tous les opérateurs de densité sur un qubit). Comment définirions-nous une porte monotone quantique partir de deux qubits d'entrée vers un qubit de sortie , de telle sorte que ce ne soit pas effectivement un classique porte monotone? Je pense qu'il est simple de dire que la sortie ne doit pas être limitée àouou leurs mélanges; mais pour être "monotone", nous devrions exiger que comme et C 2 G : H a ⊗ H b → H c a , b c | 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G(ρ a b )| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$ augmentation de , la valeur de doit être non décroissant. Pour une porte qubit à deux entrées, cela signifie que doit être implémentable en principe comme$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. effectuer une mesure à deux qubits par rapport à une base orthonormée , où couvrir le sous-espace de Hamming poids 1, et| u ⟩ , | v $\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. produisant en sortie un état correspondant au résultat mesuré, où pour chaque .$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$X ∈ { μ , ν $\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

Les circuits ne sont que des compositions de ceux-ci de manière sensée. Nous pourrions également autoriser le fan-out, sous la forme de circuits qui intègrent unitairement et ; nous devrions à tout le moins autoriser ces mappages en entrée, pour permettre la copie de chaque bit d'entrée (nominalement classique).| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

Il semble raisonnable soit de considérer l'ensemble du continuum de telles portes, soit de se limiter à une collection finie de telles portes. Tout choix donne lieu à une "base de porte monotone quantique" différente pour les circuits; on peut considérer les propriétés des différentes bases monotones. Les états peuvent être choisis de manière totalement indépendante, sous réserve de la contrainte de monotonie; il serait sans aucun doute intéressant (et probablement pratique de relier l'erreur) de définiret, bien que je ne vois aucune raison d'exiger cela dans la théorie. De toute évidence, AND et OR sont des portes de ce type, oùet ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$ρ μ = ρ ν = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$ρ μ = ρ ν = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| u ⟩ | v $\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$respectivement, quel que soit le choix de ou .$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

Pour toute constante k , on pourrait également considérer les bases de portes, y compris les portes k -entrée-une sortie. L'approche la plus simple dans ce cas serait probablement de permettre aux portes qui peuvent être implémentées comme ci-dessus, permettant toute décomposition des sous-espaces de chaque poids de Hamming , et d'exiger que pour chacun$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . On ne sait pas combien de puissance de calcul supplémentaire cela vous donnerait (ni même dans le cas classique).

Je ne sais pas s'il y a quelque chose d'intéressant à dire sur de tels circuits au-delà du cas classique, mais cela me semble être la définition candidate la plus prometteuse d'un "circuit monotone quantique".

Une variante quantique du résultat de Razborov

Considérez l' exposition par Tim Gowers des résultats d' Alon et Boppana (1987), Combinatorica 7 pp. 1–22 qui renforcent les résultats de Razborov (et expliquent certaines de ses techniques) pour la complexité monotone de CLIQUE. Gowers présente cela en termes de construction récursive d'une famille d'ensembles, en partant des "demi-espaces" du cube booléen pour chaque . Si nous supprimons la position privilégiée de la base standard dans les ensembles de base, par analogie avec le lemme local de Lovász quantique , nous pouvons considérer un sous-espace de 1 ⩽ j ⩽ n H ⊗ n 2 n A j ⩽ H ⊗ n 2 A j = U j E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$correspondre à une proposition binaire (si un état appartient au sous-espace, ou lui est plutôt orthogonal) qui pourrait résulter de la mesure. Par exemple, nous pouvons considérer sous-espaces donné par Nous autorisons les analogues quantiques de la conjonction et de la disjonction des sous-espaces: $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$A ∧ B = A ∩ B ; A ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ CΠCCΠK(r)r‖ΠC-ΠK(r)‖∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ Nous demandons ensuite combien de temps une construction récursive des conjonctions et des disjonctions d'espaces est nécessaire pour obtenir un espace , de sorte que le projecteur sur ne diffère que légèrement du projecteur sur l'espace couvert par les fonctions indicatrices de graphes ayant des cliques de taille ; par exemple, pour que$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. La partie monotone est impliquée dans les opérations logiques quantiques, et les propositions primitives concernant l'entrée sont également quantiques.

Dans le cas général, il y a un problème à traiter cela comme un problème de calcul: la disjonction ne correspond à aucune connaissance qui pourrait être obtenue avec certitude par des mesures sur un nombre fini de copies en utilisant des mesures en boîte noire pour et seul, sauf s'il s'agit d'images de projecteurs de navettage. Ce problème général peut toujours être traité comme un résultat intéressant sur la complexité géométrique-combinatoire, et pourrait donner lieu à des résultats liés aux Hamiltioniens locaux frustrés. Cependant, il pourrait être plus naturel d'exiger simplement que les sous-espaces$\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$découlent des déplacements des projecteurs, auquel cas la disjonction n'est que le OU classique des résultats de mesure de ces projecteurs. Ensuite, nous pouvons exiger que les unitaires tous les mêmes, et cela devient un problème concernant un circuit unitaire (qui donne lieu aux "événements primitifs") avec un post-traitement classique monotone (qui effectue les opérations logiques sur ces événements).$U_j$

Notez également que si nous n'imposons aucune restriction supplémentaire aux espaces , il peut s'agir d'un sous-espace avec un chevauchement très élevé avec un espace étendu par des états de base standard , qui sont ces chaînes binaires dans lesquelles .$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• Si cette possibilité vous rend délicat, vous pouvez toujours exiger que ait un angle de séparation d'au moins d'au moins (de sorte que nos sous-espaces primitifs sont, au pire, approximativement sans biais par rapport aux sous-espaces dans lesquels l'un des bits est mis à 1).$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• Si nous n'imposons pas une telle restriction, il me semble qu'admettre des sous-espaces ayant un chevauchement élevé avec serait de toute façon un obstacle à l'approximation de CLIQUE (r); soit nous serions plus ou moins limités à considérer l' absence d'un bord particulier (plutôt que sa présence), soit nous serions obligés d'ignorer complètement l'un des bords. Donc, je ne pense pas qu'il soit terriblement important d'imposer des restrictions à , sauf peut-être que ce sont toutes les images d'un ensemble de projecteurs de navettage, si l'on veut considérer comment "évaluer monotiquement CLIQUE à partir de propositions quantiques simples. ". Au pire, cela reviendrait classiquement à autoriser des portes NON à l'entrée (et à ce que tous les fan-out se produisent après la négation).$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

Encore une fois, il n'est pas clair pour moi si le fait de remplacer les ensembles de base par des sous-espaces arbitraires de pose un problème plus intéressant que d'utiliser simplement les sous-espaces ; cependant, si nous nous limitons au cas des formules CNF (dans le cas du navettage ou du non-navettage), les résultats que nous obtenons correspondraient à une certaine notion de complexité d'un hamiltonien sans frustration dont la variété de l'état fondamental consistait en une base standard États représentant des cliques.$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Comme en témoignent les commentaires de Robin et Tsuyoshi, la notion de circuits monotones semble être facilement extensible aux circuits quantiques.

Afin d'avoir une définition significative du circuit monotone quantique, nous devons choisir un ordre sur les états quantiques par rapport auxquels la monotonie est définie. Classiquement, une option raisonnable (et qui conduit à la notion normale de circuits monotones) est le poids de Hamming, mais considérons un ordre donné par une fonction arbitraire .$f$

Puisque l'évolution d'un système quantique fermé est unitaire (que nous pouvons supposer donnée par ), alors pour chaque état tel que il existe un état alternatif tel que mais pour lequel , et donc l'évolution n'est pas monotone.$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

Ainsi, les seuls circuits monotones par rapport à sont ceux qui pour tous . Ainsi, tout ensemble de portes monotone par rapport à est composé de portes qui commutent avec .f ( U | ψ ⟩ ) = f ( | ψ ⟩ ) | ψ ⟩ f $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

Évidemment, les ensembles de portes qui peuvent satisfaire cela dépendent de la définition de . Si est constant, alors tous les ensembles de portes sont monotones par rapport à lui. Cependant, si nous choisissons comme le poids de Hamming des états dans la base de calcul (une extension quelque peu naturelle du utilisé dans le cas classique), nous obtenons une structure intéressante. La restriction imposée exige que le poids de Hamming reste inchangé. Les opérations qui préservent ce montant sont soit des opérations diagonales, soit des SWAP partiels, soit des combinaisons de celles-ci. Cette structure apparaît assez souvent en physique (dans les modèles à liaison étroite, etc.) et est similaire au problème de diffusion du boson étudié par Aaronson et Arkhipovf f $f$$f$$f$$f$, mais pas identique (c'est un problème de diffusion légèrement différent). De plus, il contient des circuits pour IQP et ne devrait donc pas être efficacement simulable de manière classique.

vous posez essentiellement deux questions de difficulté très divergente, à la frontière de deux grands domaines, à savoir les circuits booléens et l'informatique QM, sur la possibilité de ce qu'on appelle parfois un "théorème de pont" en mathématiques:

• analogique quantique de circuits monotones

• analogique quantique de Razborovs thm

la réponse courte et franche est non ou pas pour l'instant .

car (1), une question moins difficile, mais encore rarement prise en compte, a fait apparaître la référence suivante qui pourrait être considérée comme un cas connexe dans la littérature.

Dureté d'approximation pour les problèmes quantiques par Gharibian et Kempe

ils considèrent certains problèmes "monotones" dans un contexte quantique, par exemple QMSA, "Quantum Monotone Minimum Satisfying Assignment, QMSA", c'est-à-dire un analogue SAT QM; (également un autre problème de poids minimal monotone quantique Word, QMW) et montrent quelques résultats de dureté d'approximation, c'est-à-dire des limites inférieures. ils ne considèrent pas les circuits quantiques monotones en soi, mais une idée pourrait être qu'un circuit quantique ou un algorithme qui résout la fonction monotone QMSA peut être considéré comme un analogue QM.

quant à (2) ce serait un résultat très avancé s'il existait qu'il ne semble pas "jusqu'ici". Le thm de Razborov est fondamentalement un résultat de type "goulot d'étranglement" de limite inférieure considéré comme une percée distincte et un résultat presque inégalé dans la théorie des circuits (monotone).

Donc, en gros, oui, bien sûr, il y a des goulots d'étranglement à la limite inférieure trouvés dans l'informatique QM, par exemple liés aux théorèmes du produit direct, pour une enquête, voir par exemple

Algorithmes quantiques, limites inférieures et compromis spatio-temporels par Spalek

cependant, sans doute un meilleur QM analogue calculant la borne inférieure mettrait une borne inférieure sur le nombre d' opérations de qubit ou peut-être basé sur des portes "complètes" comme les portes de Toffoli pour une fonction monotone. je ne connais pas de preuves de ce type.

une autre approche pourrait limiter l'analyse à des portes ET et OU quantiques spéciales avec des bits "ancilla" supplémentaires ajoutés pour rendre les portes réversibles.