FO uniforme AC0 avec un prédicat

Ma question concerne la théorie des modèles finis / la complexité descriptive, donc signifiera "premier ordre sur des mots binaires finis, en utilisant des prédicats Rs et un prédicat unaire P vrai sur la position du 1 dans le mot". $FO(R)$

Je voudrais savoir, existe-t-il une caractérisation de avec R un prédicat sur pour certains r? Par exemple sur , ou où est l'ensemble de puissance de 2. Surtout, il me semble qu'il devrait être égal à avec une certaine condition d'uniformité, mais je peux ne trouve aucun résultat qui indique cela. $FO(<,R)$ $\mathbb N^r$ $FO(<,+)$ $FO(<,P_2)$ $P_2$ $AC^0$

Voici ce que je sais déjà, pour une valeur de . $R$

Il est bien connu que , la logique du premier ordre sur les mots avec un ordre et un prédicat de bits est égale à - uniforme. Cela signifie qu'ils reconnaissent tous deux exactement les mêmes langues. Voir par exemple «Complexité descriptive» d'Immerman, page 82. (Il est également égal à beaucoup d'autres caractérisations, comme -logtime uniform et machine à accès aléatoire parallèle à temps constant, mais ce n'est pas ce que je suis recherche ici.) $FO(<,bit)$ $AC^0$ $FO(<,bit)$ $AC^0$

Si nous pouvons utiliser un prédicat numérique arbitraire dans notre logique du premier ordre, alors nous avons (non uniforme), si est une classe de fonction contenant la fonction calculable en temps logarithmique, alors est égal à uniforme (pour ces deux résultats, voir Barrington, " Extensions of an Idea of Mc-Naughton ", 1993). $AC^0$ $C$ $FO(<,C)$ $AC^0-C$

Enfin est la classe du langage sans étoile (langage qui peut être défini par une expression régulière sans étoile de Kleene), mais cela ne donne aucune information en terme de complexité du circuit. $FO(<)$

— Arthur MILCHIOR
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Je ne suis pas tout à fait sûr de ce que vous recherchez, mais les éléments suivants pourraient vous intéresser:

L'idée que la restriction des prédicats numériques dans la formule FO correspond aux conditions d'uniformité est explicitement étudiée, par exemple, dans l'article "FO (<) - uniformité" de Behle et Lange.
L'enquête «Arithmétique, logique du premier ordre et quantificateurs de comptage» de Schweikardt fournit entre autres un aperçu des résultats connus sur la puissance expressive de différents prédicats arithmétiques

— fh
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Merci beaucoup, le premier de ces deux articles était exactement ce que je cherchais. J'ai prouvé une partie de son résultat, et j'étais presque sûr que quelqu'un l'aurait déjà prouvé car la preuve est presque la même que celle concernant l'uniformité FO (<, bit).

— Arthur MILCHIOR