Coloration de la complexité des graphiques

Supposons que est un graphique avec un nombre à colorier . Considérez le jeu suivant entre Alice et Bob. À chaque tour, Alice choisit un sommet et Bob répond avec une couleur en pour ce sommet. Le jeu se termine lorsqu'un bord monochromatique est découvert. Soit la longueur maximale du jeu sous un jeu optimal des deux joueurs (Alice veut raccourcir le jeu autant que possible, Bob veut le retarder le plus possible). Par exemple, $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ et . $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

Ce jeu est-il connu?

— Yuval Filmus
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Je pense que vous pouvez modéliser cela comme un jeu Ehrenfeucht – Fraïssé .

— Tyson Williams

il semblerait être fortement lié aux algorithmes de coloration de graphes gourmands, non? dont il y en a beaucoup .... de la même manière que les problèmes SAT où une des variables est "forcée" après une traversée DPLL ... qui je crois est aussi appelée le "backbone" dans SAT

— vzn

Pourquoi utilisez-vous d − 1? Je pense qu'il est plus naturel de paramétrer le jeu à la fois par le graphe G et le nombre k de couleurs autorisées et de considérer la quantité analogue X (G, k). Bien sûr, si k≥χ (G), alors Bob gagne, et donc dans ce cas, X (G, k) doit être défini comme ∞ ou n + 1.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi:

est un choix arbitraire conçu pour maximiser

. Dans l'application que j'ai en tête,

n'a pas de sens.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus

@Tyson: En fait,

est la complexité de l'arbre de décision du jeu dans lequel, étant donné une coloration

, nous voulons trouver un bord violé.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus

Il ressemble assez à

Coloration de graphiques aléatoires en ligne sans création de sous-graphiques monochromes (Reto Spöhel, Torsten Mütze et Thomas Rast) Actes du 22e Symposium annuel ACM-SIAM sur les algorithmes discrets (SODA '11), PR 137, 145-158.

— adrianN
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