Extensionnalité des modèles de calcul lambda

Je traduis un livre sur LISP et naturellement il touche certains éléments de -calculus. Ainsi, une notion d'extensionnalité y est mentionnée aux côtés de certains modèles de -calculus, à savoir: et (oui, avec l'infini en haut). Et on dit que est extensionnel tandis que ne l'est pas. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Mais ... Je regardais à travers le calcul Lambda de Barendregt , It's Syntax and Semantics , et (espérons-le, correctement) y lire exactement le contraire: $\mathcal{P}_\omega$ n'est pas extensionnel, $D_\infty$ est.

Quelqu'un connaît-il cet étrange modèle $D^\infty$ ? Serait-ce juste le même modèle que $D_\infty$ , mais écrit par erreur? Ai-je raison sur l'extensionnalité des modèles?

Merci.

— Chris
source

Pourriez-vous donner un contexte au livre LISP? At-il des références pour les résultats ou les modèles auxquels il se réfère?

— cody

Oui, c'est LISP de Christian Queinnec dans Small Pieces , p. 153. L'extrait avec la mention: [...] Depuis lors, les propriétés ont été étendues de plusieurs manières différentes, produisant plusieurs modèles différents: ou dans [Sco76, Sto77]. [...] Curieusement, est extensionnel car deux fonctions qui calculent la même chose à chaque point sont égales, tandis que n'est pas extensionnel. [...] Sco76 signifie Dana Scotts ' Data Types as Treillis . Sto77 est l'abréviation de Joseph Stoys 'Denotational Semantics: The Scott-Stachey Approach to Programming Language Theory .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

Merci! Dans ce cas, il est probable qu'il y ait eu une faute de frappe, que signifie et que c'est qui ne soit pas extensionnel.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— cody

Je suppose que par extensionnalité, vous entendez la loi Si c'est ce que vous voulez dire, le modèle de graphique n'est pas extensionnel, tandis que Dana Scott l' est (je suppose que est le modèle de Dana Scott du - calcul).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Pour voir cela, rappelez-vous que est un réseau algébrique avec la propriété que son espace de cartes continues est un retrait correct de , c'est-à-dire qu'il existe des cartes continues et telle sorte que mais . Étant donné , l'application est interprétée comme . Maintenant, prends $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$ et tels que mais (ceux-ci existent parce que ). Alors pour tout on a encore . L'extensionnalité est violée.

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

En revanche, est isomorphe à , c'est-à-dire qu'il existe des cartes continues et qui sont inverses les uns des autres. Considérez donc tout et supposez que pour tout . Cela signifie que pour tous les , donc et donc . L'extensionnalité est établie. $[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

Nous voyons que l'extensionnalité est une conséquence de . À quoi sert l'autre équation ? Pour cela, nous devons nous rappeler comment -abstraction est interprétée: En mots, une expression avec une variable peut être interprétée comme une carte qui prend à . Ensuite, le -abstraction est interprété comme l'image de cette fonction. Maintenant, à partir de nous obtenons $\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$ qui est juste -reduction.

β

$\beta$

— Andrej Bauer
source

Grand merci. Je suppose donc qu'il y a une erreur factuelle dans le livre. Cela peut être possible, car le livre lui-même est une traduction du français, et il pourrait y avoir des manigances à double négation dans ce paragraphe du livre original, ou quelque chose comme ça. Malheureusement, je n'en ai pas de français pour au moins essayer de vérifier.

— Chris

Le français n'est pas pertinent, vous en avez la preuve sous les yeux.

— Andrej Bauer

Soit dit en passant, LIPS n'est pas une extension du -calculus, il est juste inspiré par lui. Le schéma pourrait être considéré comme une extension, bien que, bien entendu, l'extension du schéma échoue gravement en raison de la présence d'effets de calcul.

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer