Un écart d'intégralité nul implique-t-il un écart de dualité nul pour certains problèmes?

Nous savons que si l'écart entre les valeurs d'un programme entier et son dual (le "gap de dualité") est nul, alors les relaxations de programmation linéaire du programme entier et le dual de la relaxation admettent toutes deux des solutions intégrales (intégrité nulle) écart"). Je veux savoir si l'inverse tient, du moins dans certains cas.

Supposons que j'ai un programme entier 0-1 , où la matrice est une matrice . Supposons que la relaxation de programmation linéaire de ait une solution optimale intégrale. Alors la programmation linéaire dual de admet-elle aussi une solution intégrale? $P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

J'apprécierais tous les contre-exemples ou pointeurs ..

— Ankur
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@Kaveh n'est pas sûr que les algorithmes d'approximation soient la bonne balise ici. ou même ds.algorithms

— Suresh Venkat

Dans le premier paragraphe, qu'entendez-vous par double d'un programme entier? Il est utile de consulter le livre de Schrijver sur la programmation linéaire et entière pour comprendre les bases de la théorie polyédrique et en particulier lorsque les relaxations de programmation linéaire ont des sommets entiers. Les matrices TUM et les systèmes d'inégalités TDI sont pertinents pour votre question.

— Chandra Chekuri

@Suresh, la programmation linéaire et l'optimisation ne relèvent-elles pas des algorithmes?

— Kaveh

@ChandraChekuri Je parle de programmes linéaires entiers; donc le dual est le dual standard d'un ILP pour lequel la dualité faible tient. La difficulté ici est que les conditions suffisantes pour l'intégralité des solutions LP (primales) (telles que TUM / équilibrée, etc.) semblent passer par le concept apparemment plus fort d'intégralité des solutions du primal et de son double LP. Cela m'a fait me demander si l'intégralité de la solution primale implique l'intégralité de la solution duale, au moins pour les coefficients intégraux. PS: je pourrais marcher jusqu'à Siebel et nous pourrions parler là-bas! J'étais dans ta classe il y a quelques années!

— Ankur

Cette question particulière est plus proche des balises qu'elle possède actuellement.

— Suresh Venkat

Voici une instance qui pourrait être proche d'un contre-exemple de la revendication.

Considérons le LP et son double pour la matrice $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Une solution optimale de est donnée par (toutes les autres variables sont nulles), avec la valeur de la fonction objectif de . La solution optimale de est donnée par le vecteur . Si vous résolvez tant que programme entier, la valeur optimale de la fonction objectif n'est que de et est une solution optimale. $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

En résumé, le LP a une solution optimale intégrale, mais son dual, n'a pas de solution optimale intégrale. Les rôles primal-dual sont inversés par rapport à la configuration souhaitée par Ankur. Mais compte tenu de la nature de la dualité LP, cette instance pourrait toujours être considérée comme un contre-exemple de l'énoncé général de la revendication initiale. $P'$ $P$

— kbala
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Merci! Ça marche! Comment avez-vous trouvé cet exemple? Existe-t-il une classe de problèmes dont il est tiré?

— Ankur

La matrice est une modification de la matrice limite d'une bande Mobius, donnée dans notre article sur les cycles homologues optimaux. J'ai récemment joué avec de telles matrices de limites, et j'ai donc commencé naturellement avec cette matrice pour créer l'exemple que j'ai donné.

— kbala