Limites inférieures pour les formules à profondeur constante?

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Nous connaissons beaucoup les limites des circuits (taille polynomiale) à profondeur constante. Étant donné que les formules à profondeur constante (taille polynomiale) sont un modèle de calcul encore plus restreint, tous les problèmes connus pour ne pas être en AC ^{0 ne} sont pas non plus calculables par une formule à profondeur constante. Cependant, comme c'est un modèle plus facile, je suppose qu'il y a plus de problèmes connus pour ne pas être calculables dans ce modèle. Cela a-t-il été étudié? (Je suppose que c'est le cas, mais je n'utilise probablement pas les bons termes de recherche.)

Plus précisément, je m'intéresse à la question suivante: existe-t-il une fonction f, qui peut être calculée par un circuit AC ⁰ de taille S, mais a besoin d'une formule de profondeur constante de taille au moins quadratique en S, ou super-polynomiale en S? Quel est le résultat le plus connu de ce genre?

Dans le cas où il n'est pas clair ce que j'entends par formule à profondeur constante, je veux dire une formule qui si vous écrivez sous forme d'arbre (avec des nœuds internes étant des portes ET / OU / NON et des feuilles étant des entrées), alors cet arbre a une constante la taille. De manière équivalente, une formule à profondeur constante est un circuit à profondeur constante dans lequel toutes les portes sans entrée ont un fanout 1.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
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Il est facile de convertir un circuit à profondeur constante en une formule à profondeur constante de la même profondeur avec une augmentation de taille polynomiale, en faisant des copies de portes utilisées plus d'une fois. Si la profondeur du circuit est et sa taille est , la formule aura la profondeur et la taille . Par conséquent, la réponse est non. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
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cela donne plus qu'une augmentation quadratique de la taille. (Bien sûr, pas d'augmentation super-polynomiale, bien sûr.)

— Iddo Tzameret

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Merci d'avoir répondu. Une idée d'une fonction particulière f qui a un circuit à profondeur constante de taille S, mais qui a besoin d'une formule de taille S ^ 2, ou S ^ 10, etc.?

— Robin Kothari

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Je pense que la relation entre la profondeur et la taille du circuit est toujours ouverte (On sait que la "profondeur" est un teta de la taille de la formule). Voir les chapitres 7 et 8 du livre de Wegener "Complexité des fonctions booléennes" pour une fonction avec des bornes inférieures de taille de formule explicite. Il y en a un avec une augmentation presque quadratique (

), qui n'a rien remarqué de mieux.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

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Cette question a été complètement résolue (jusqu'à des facteurs constants) par un récent résultat de Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Comme Kaveh le souligne ci-dessus, un circuit de profondeur , taille , peut être converti en une formule de profondeur , taille . $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman montre que c'est essentiellement serré. Pour toute profondeur , il présente une fonction qui peut être calculée par un circuit à profondeur constante de profondeur et de taille , mais toute formule à profondeur constante (ou même un $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -depth formula) a besoin de la taille pour le calculer. $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(J'ai oublié de le dire auparavant: merci à Benjamin Rossman de m'avoir informé de ce résultat.)

— Robin Kothari
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