Distinguer entre

Etant donné un état quantique choisi uniformément au hasard parmi un ensemble de états mixtes , quelle est la probabilité moyenne maximale d'identifier correctement ? $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

Ce problème peut être transformé en un problème de distinction à deux états en considérant le problème de la distinction de $\rho_A$ . $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Je sais que pour deux états quantiques, le problème a une bonne solution en termes de distance de trace entre les états lorsque vous minimisez la probabilité d'erreur maximale plutôt que la minimisation de la probabilité d'erreur moyenne, et j'espérais qu'il pourrait y avoir quelque chose de similaire pour ce cas. Il est bien sûr possible d'écrire la probabilité en termes d'optimisation sur POVM, mais j'espère quelque chose où l'optimisation a déjà été effectuée.

Je sais qu'il existe une énorme littérature sur la distinction des états quantiques, et j'ai lu beaucoup d'articles au cours des derniers jours en essayant de trouver la réponse à cette question, mais j'ai du mal à trouver la réponse à cette question. variation particulière du problème. J'espère que quelqu'un qui connaît mieux la littérature peut me faire gagner du temps.

À strictement parler, je n'ai pas besoin de la probabilité exacte, une bonne limite supérieure ferait l'affaire. Cependant, la différence entre n'importe quel état et l'état mélangé au maximum est assez petite, donc la limite devrait être utile dans cette limite.

— Joe Fitzsimons
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Parce que la probabilité de réponse correcte est la valeur maximale d'un programme semi-défini, il est souvent utile de considérer le dual pour obtenir une borne supérieure.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: En effet, mais je devinais que ce problème a été bien étudié et qu'il pourrait y avoir un résultat en conserve.

— Joe Fitzsimons

Savez-vous si les questions analogues pour les distributions de probabilités classiques ont une bonne réponse? Le résultat de la «trace de distance» que vous mentionnez est une généralisation de l'utilisation de la «distance statistique» (ou «distance de variation totale») pour les distributions classiques. [Dans le cas classique, la stratégie naturelle consiste à choisir la distribution la plus susceptible d'avoir généré une sortie particulière. Vous pouvez écrire un formulaire fermé pour sa probabilité de succès, mais je ne sais pas s'il peut être exprimé en termes de quantité simple (comme la distance moyenne entre les distributions).]

— Adam Smith

@AdamSmith: Il semble que vous pouvez classiquement pondérer chaque distribution en fonction de sa probabilité de se produire, puis choisir celle qui est la plus susceptible de donner le résultat que vous observez.

— Joe Fitzsimons

Comme vous le mentionnez, il est possible de déterminer numériquement la probabilité de réussite moyenne optimale, ce qui peut être fait efficacement via une programmation semi-définie (voir par exemple cet article d'Eldar, Megretski et Verghese ou ces notes de conférence de John Watrous), mais aucune expression de forme fermée n'est connu.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— Ashley Montanaro
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Génial, merci Ashley. La limite inférieure de la probabilité d'erreur en termes de distance de trace est à peu près exactement ce que je cherchais. En fait, mon plan de sauvegarde si je n'avais pas réussi à obtenir une bonne réponse allait être de vous envoyer un e-mail, car je sais que vous avez travaillé sur ce genre de choses.

— Joe Fitzsimons

Y a-t-il des limites qui fonctionnent bien dans la limite de la probabilité d'erreur proche de 1? La distance de trace un semble être au maximum à 1/2. J'essaie la fidélité en ce moment, mais je ne pense pas pouvoir calculer la fidélité du problème sur lequel je travaille, et les limites que vous donnez semblent très sensibles aux erreurs additives.

— Joe Fitzsimons

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$