Plan projectif de l'ordre 12

Objectif : établir la conjecture qu'il n'y a pas de plan projectif d'ordre 12.

En 1989, en utilisant la recherche informatique sur un Cray, Lam a prouvé qu'il n'existait aucun plan projectif d'ordre 10. Maintenant que le nombre de Dieu pour le cube de Rubik a été déterminé après seulement quelques semaines de recherche massive de force brute (plus des mathématiques intelligentes de symétrie), il me semble que ce problème ouvert de longue date pourrait être à portée de main. (De plus, nous pourrions peut-être utiliser de telles techniques pour résoudre quelque chose de fondamentalement mathématique.) J'espère que cette question pourra servir de test de santé mentale.

Le Cube a été résolu en réduisant la taille totale du problème à "seulement" 2 217 093 120 tests distincts, qui pouvaient être exécutés en parallèle.

Des questions:

Plusieurs cas particuliers de non-existence ont été signalés. Est-ce que quelqu'un sait, si nous les supprimons et recherchons exhaustivement le reste, si la taille du problème est de l'ordre de la recherche du cube? (Peut-être trop à espérer que quelqu'un le sache ....)
Des informations partielles dans ce sens?

Modifié pour ajouter: j'ai posé cette question sur MathOverflow ici . Jusqu'à présent, il semble qu'aucune réduction de l'espace de recherche ne soit obtenue à partir des résultats partiels connus. Je ne connais toujours pas la taille de l'espace de recherche total.

open-problem

— Aaron Sterling
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connaissez-vous de bonnes références pour les cas particuliers de non-existence que vous avez mentionnés? Ou peut-être, juste une référence générale / un ensemble de références pour le cas d'ordre 12?

— Daniel Apon

Cela semble mieux adapté à MathOverflow. Y a-t-il un lien étroit avec l'informatique théorique? (D'un autre côté: est-il difficile de décider, étant donné un entier n, s'il existe un plan projectif d'ordre n? Temps polynomial? NP-dur? Pire?)

— Jeffε

@JeffE, merci, je me demandais si je devrais le demander à la place. Je pense que cela pourrait être une application de TCS à la combinatoire, mais je ne le vois pas comme un résultat "important", juste un fruit très accrocheur qui peut maintenant être faible en raison de la vitesse du processeur et du cloud. Je ne connais pas la réponse à votre problème de décision. Alors ... j'attendrai quelques jours, puis je posterai sur MO, en vous connectant ici.

— Aaron Sterling

J'aime la reformulation de Jeff. Peut-être que cela vaut la peine d'être publié comme une autre question :)

— Suresh Venkat

Je vois l'application potentielle de l' informatique à la combinatoire, mais pas l' informatique théorique , qui concerne (selon mes propres biais) le comportement limitant du calcul à mesure que la taille d'entrée augmente à l'infini. Trouver le nombre de Dieu a été une réalisation technique impressionnante, mais il n'est pas clair que cela nécessite une compréhension algorithmique ou qu'il aura un impact algorithmique. (J'adorerais être corrigé sur ce point.)

— Jeffε

Réponses:

(Plus un commentaire qu'une réponse :)

Il existe des plans projectifs finis pour les valeurs de n qui sont des puissances d'un nombre premier, et il existe une infinité de valeurs de n qui sont exclues par un théorème de RH Bruck et H.Ryser, qui a été généralisé pour bloquer les conceptions de Chowla:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

n = 10, comme cela a été dit, a été résolu (aucun avion n'existe) par une recherche informatique, de sorte que la première valeur de n non exclue par Bruck-Ryser est n = 12. Cependant, le travail informatique n'a pas semblé donner de nouvelles perspectives car si oui ou non il n'y a que les principaux avions de puissance. Ce qui semble être nécessaire, ce sont de nouvelles méthodes mathématiques pour comprendre la conjecture communément établie selon laquelle seuls les plans de puissance principaux existent.

— Joseph Malkevitch
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Il y a une conjecture disant que, si sigma (n)> 2n, il n'y a ni un plan projectif fini (FPP) d'ordre n, ni un ensemble complet de carrés latins mutuellement orthogonaux (CMOLS) qui lui correspondent. Où sigma (n) désigne la somme des diviseurs positifs de n incluant n lui-même. En fait, lorsque sigma (n)> 2n signifie que n est un nombre abondant. et 12 est le plus petit nombre abondant existe. Voici tous les nombres abondants pour 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,

extrait de On Projective Planes of Order 12 de Muatazz Abdolhadi Bashir et Andrew Rajah

— Bashir
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