Jeux de portes universels pour SU (3)?

Dans l'informatique quantique, nous nous intéressons souvent aux cas où le groupe d'opérateurs unitaires spéciaux, G, pour un système d-dimensionnel donne exactement tout le groupe SU (d) ou même juste une approximation fournie par une couverture dense de SU (d).

Un groupe d'ordre fini, tel que le groupe de Clifford pour un système dimensionnel C (d), ne donnera pas une couverture dense. Un groupe d'ordre infini ne donnera pas une couverture dense si le groupe est abélien. Cependant, mon intuition approximative est qu'un nombre infini de portes et d'opérations de changement de base du groupe Clifford devraient suffire pour fournir une couverture dense.

Formellement, ma question est:

J'ai un groupe G qui est un sous-groupe de SU (d). G a un ordre infini et C (d) est un sous-groupe de G. Est-ce que tous ces G fournissent une couverture dense de SU (d).

Notez que je suis particulièrement intéressé par le cas où d> 2.

Je suppose que le groupe Clifford est tel que défini ici: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Ce n'est pas une réponse complète, mais peut-être que cela va dans le sens de répondre à la question.

Puisque a un ordre infini mais que ne l'est pas, alors contient nécessairement une porte de groupe non Clifford. Cependant a comme sous-groupe. Mais pour le groupe de Clifford plus toute autre porte ne faisant pas partie du groupe de Clifford est approximativement universel (voir par exemple le théorème 1 ici ). Par conséquent, tous ces fournissent une couverture dense sur .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Dans le cas où il semble qu'il soit possible de prouver que vous obtenez toujours une couverture dense le long des lignes suivantes (en utilisant la notation du papier lié à la question):$d>2$

1. Comme toutes les portes de sont unitaires, toutes leurs valeurs propres sont des racines d'unité, que pour simplifier je paramétrerai par des angles réels .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Comme a un ordre infini, contient des portes pour lesquelles au moins une valeur est un multiple irrationnel de ou contient une approximation arbitrairement bonne d'un tel multiple irrationnel de . Désignons une telle porte .G θ k π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Il existe alors un tel que est arbitrairement proche, mais pas égal à l'identité.g $n$$g^n$
4. Puisque est unitaire, il peut s'écrire . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Puisque le groupe de Pauli tel que défini dans quant-ph / 9802007 forme une base pour les matrices , vous pouvez écrire , où et pour tout (par [3]), avec au moins un de zéro.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Nous pouvons alors choisir un élément du groupe de Clifford qui mappe à sous conjugaison. Ainsi , où est juste une permutation de et .X j d Z k d Z $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Notez que satisfait . Définissons .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z - ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Par le théorème de Baker-Cambel-Hausdorff, puisque tous les ont été rendus arbitrairement proches de l'identité, nous pouvons évaluer le produit de au premier ordre comme . En sommant toutes les routes d'unité, pour obtient . Il s'agit essentiellement d'une séquence de découplage qui découplent les éléments non diagonaux.g ′ = g 1 × . . . × g d exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0 ∑ k α j k X j d Z k d ) ) d > 1 $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Comme seules les matrices diagonales restent dans l'exponentielle, doit être diagonal. De plus, en raison des restrictions sur il a nécessairement des valeurs propres qui sont non nulles mais proportionnelles à .α ′$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. En variant et en répétant le processus ci-dessus, il devrait être possible de générer portes linéairement indépendantes: , de telle sorte que leur produit se traduise par une porte diagonale avec des phases irrationnelles et incommensurables ou une approximation arbitrairement proche à une.$\epsilon$g ′ 1 . . . g ′ $d$$g'_1 ... g'_d$
11. D'après la référence donnée dans la réponse de Mark Howard, cela, avec le groupe Clifford, devrait suffire pour une universalité approximative.

Je pense que la réponse à la question initiale est probablement oui, mais malheureusement, je ne peux pas le dire de manière définitive. Je peux cependant aider à répondre à la longue question de Peter.

Dans math / 0001038, par Nebe, Rains et Sloane, ils montrent que le groupe de Clifford est un sous-groupe fini maximal de U (2 ^ n). Solovay l'a également montré dans des travaux non publiés qui "utilisent essentiellement la classification des groupes simples finis". Le Nebe et al. l'article montre également que le groupe qudit Clifford est un sous-groupe fini maximal pour p premier, utilisant également la classification des groupes finis. Cela signifie que le groupe Clifford plus n'importe quelle porte est un groupe infini, ce qui rend redondante l'une des hypothèses de la question d'origine.

Maintenant, Rains et Solovay m'ont dit que la prochaine étape, montrant qu'un groupe infini contenant le groupe Clifford est universel, est relativement simple. Cependant, je ne sais pas comment cette étape fonctionne réellement. Et plus important encore pour la question d'origine, je ne sais pas s'ils envisageaient uniquement le cas qubit ou également le cas qudit.

En fait, je pourrais ajouter que je ne comprends pas non plus la preuve de Nebe, Rains et Sloane, mais j'aimerais bien.

Je ne sais pas si vous demandez si SU (3) ou SU (3 ) agissent sur un produit tensoriel de qudits. Je suppose que vous posez des questions sur SU (3). Il n'est pas clair pour moi (malgré ce que j'ai dit dans une version précédente de ma réponse) que la déclaration pour SU (3) implique la déclaration pour SU (3 ).$^{n}$$^n$

Tant que l'ensemble de portes ne se trouve pas dans un sous-groupe de SU (3), il générera une couverture dense de SU (3). Vous devez donc vérifier si l'un des sous-groupes infinis de SU (3) contient le groupe Clifford. Je suis assez sûr qu'ils ne le font pas, mais je ne peux pas dire avec certitude. Voici une question de débordement mathématique donnant tous les sous-groupes de Lie de SU (3).

J'ai pensé que je devrais mettre à jour ce fil avant que le site ne soit figé pour toujours.

La réponse de Daniel va dans le bon sens. Cette "prochaine étape" qu'il mentionne apparaît dans le livre ultérieur de Nebe, Rains et Sloane, " Self-Dual Codes and Invariant Theory ".

La réponse à cette question est donc "Oui" - et elle découle directement du Corollaire 6.8.2 dans le livre de Nebe, Rains et Sloane.

Je suis reconnaissant à Vadym Kliuchnikov qui me l'a fait remarquer lors de ma visite à Waterloo.

Je pense que l'article suivant peut contenir les constructions pertinentes pour prouver l'universalité qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

En particulier, le commentaire à la fin de la section indique que la phase contrôlée , la transformée de Fourier et une porte diagonale avec des phases irrationnelles et incommensurables donnent une universalité approximative. (C'est une condition suffisante sur mais je suis sûr que ce n'est pas une condition nécessaire.)C Z F D $4$$CZ$$F$$D$$D$

Si votre est de la bonne forme (et les portes diagonales semblent un choix naturel), le résultat s'applique$G$

Une autre approche serait de créer les états ancilla nécessaires à la mise en œuvre du qudit Toffoli, ou d'utiliser directement avec Cliffords pour mettre en œuvre le Toffoli. Il est difficile de dire si cela est possible sans en savoir plus sur .$G$$G$