?

En lisant le blog de Dick Lipton, je suis tombé sur le fait suivant vers la fin de son billet Bourne Factor :

Si, pour tout , il existe une relation de la forme où , et chacun des , et ont une longueur de bits , puis l'affacturage a un polynôme circuits de taille. $n$
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ $m = poly(n)$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $poly(n)$

En d'autres termes, le, qui a un nombre exponentiel de bits , peut potentiellement être représenté efficacement. $(2^n)!$

J'ai quelques questions:

Quelqu'un pourrait-il fournir une preuve de la relation ci-dessus, me dire le nom et / ou fournir des références?
Si je devais vous donner , et chacun des , et , pourriez-vous me fournir un algorithme de temps polynomial pour vérifier la validité de la relation (c.-à-d. Est-ce en )? $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— user834
source

Ce billet de blog ne revendique-t-il pas réellement l'inverse? Autrement dit, si les équations de la forme ci-dessus

ont des solutions en général , alors l'affacturage a des circuits de taille polynomiale.

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$

— mikero

Je pense que vous avez écrit l'inverse de ce que Dick Lipton a écrit. Il dit que si une telle équation existe pour tout

, alors l'affacturage a des circuits de taille polynomiale. L'implication est donc que si l'affacturage est dur de manière non uniforme (pour une infinité de

) alors les équations de la forme ci-dessus n'existent pas (pour une infinité de

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Sasho Nikolov

@mikero, SashoNikolov, vous avez tous les deux raison, mes excuses. J'ai édité ma question.

— user834

notons que "algorithme de temps polynomial" signifie généralement un algorithme uniforme. Le billet de Lipton affirme seulement l'existence d'une famille de circuits polysize pour l'affacturage.

— Sasho Nikolov

Notez que pour que cette propriété soit vraie,

doivent être

en taille de bit / comme indiqué sur le blog de Lipton /, et

comme entiers . Votre définition n'est pas claire.

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

— Gopi

Je vais expliquer pourquoi une relation comme dans la question (pour chaque ) aide à l'affacturage. Je ne peux pas tout à fait terminer l'argument, mais peut-être que quelqu'un le peut.

(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

La première observation est qu'une relation comme ci-dessus (et plus généralement, l'existence de circuits arithmétiques poly-taille pour ) Donne un circuit poly-taille pour le calcul pour donné en binaire: évaluez simplement la somme modulo , en utilisant l'exponentiation par quadrature répétée. $(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

Maintenant, si nous pouvions calculer pour arbitraire , nous pourrions factoriser : en utilisant la recherche binaire, trouver le plus petit tel que (que nous pouvons calculer en utilisant ). Alors doit être le plus petit diviseur premier de . $y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

Si nous ne pouvons faire que des puissances de pour , nous pouvons toujours essayer de calculer Pour chaque . L'un d'entre eux sera un diviseur non trivial de , sauf dans le cas malheureux où il y a un tel que est coprime à , et divise . Cela revient à dire que $2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$ est sans carré, et tous ses facteurs premiers ont la même longueur de bits. Je ne sais pas quoi faire dans ce cas (plutôt important, cf. Blum integers).

— Emil Jeřábek soutient Monica
source

Si la relation est vraie (pour tout

), alors peut-être aussi (avec un choix différent de

) quand on remplace

par un autre (petit) premier,

. On pourrait probablement chercher jusqu'à ce qu'un

soit trouvé tel que

soit coprime à

et non

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$

— user834