Lorsque l'on considère les interactions sur les réseaux, il est généralement très difficile de calculer la dynamique analytiquement , et des approximations sont utilisées. Les approximations de champ moyen finissent généralement par ignorer complètement la structure du réseau, et sont donc rarement une bonne approximation. Une approximation populaire est l'approximation de paire, qui considère les corrélations inhérentes entre les nœuds adjacents (intuitivement, nous pouvons la considérer comme un type d'approximation de champ moyen sur les bords).
L'approximation est exacte si l'on considère les graphes de Cayley, et très bonne si l'on regarde les graphes aléatoires réguliers. En pratique, il fournit également de bonnes approximations pour les cas où nous avons un graphique aléatoire avec un degré moyen et une distribution étroite du degré autour de . Malheureusement, de nombreux réseaux et interactions qui présentent un intérêt ne sont pas bien modélisés par ce type de graphiques. Ils sont généralement bien modélisés par des graphiques avec des distributions de degrés très différentes (comme les réseaux sans échelle, par exemple), avec des coefficients de regroupement spécifiques (et élevés) , ou une distance moyenne spécifique sur le plus court chemin (pour en savoir plus, voir Albert et Barabasi 2001 ) .
Existe-t-il des améliorations de l'approximation des paires qui fonctionnent bien pour ces types de réseaux? Ou existe-t-il d'autres approximations analytiques disponibles?
Un exemple d'interactions sur les réseaux
J'ai pensé donner un exemple de ce que je veux dire par interactions sur les réseaux. Je vais inclure un exemple relativement général de la théorie des jeux évolutifs.
Vous pouvez considérer chaque nœud comme un agent (généralement représenté uniquement par une stratégie), qui joue un jeu fixe par paire avec l'autre agent avec lequel il a un avantage. Ainsi, un réseau donné avec une certaine affectation de stratégie à chaque nœud produit un gain pour chaque nœud. Nous utilisons ensuite ces gains et la structure du réseau pour déterminer la distribution des stratégies entre les nœuds pour la prochaine itération (un exemple courant pourrait être pour chaque agent de copier le voisin avec le gain le plus élevé, ou une variante probabiliste de cela). Les questions qui nous intéressent généralement correspondent à la connaissance du nombre d'agents de chaque stratégie et comment cela change au fil du temps. Souvent, nous avons une distribution stable (que nous voulons ensuite connaître, ou approximative) ou parfois des cycles limites ou des bêtes encore plus exotiques.
Si nous faisons une approximation de champ moyen sur ce type de modèle, nous utilisons l' équation du réplicateur comme notre dynamique, qui ignore de manière flagrante la structure du réseau et n'est précise que pour des graphiques complets. Si nous utilisons l'approximation des paires (comme Ohtsuki et Nowak 2006 ), nous obtiendrons une dynamique légèrement différente (ce sera en fait une dynamique de réplicateur avec une matrice de gain modifiée, où la modification dépend du degré du graphique et des spécificités de l'étape de mise à jour) qui correspond bien à la simulation pour les graphiques aléatoires, mais pas pour les autres réseaux d'intérêt.
Pour un exemple plus physique comme: remplacez les agents par des spins et appelez la matrice de gain une interaction hamiltonienne, puis refroidissez votre système tout en effectuant des mesures aléatoires périodiques.
Notes et questions connexes
Les généralisations simples d'approximation de paires du type qui considèrent un type d'approximation de champ moyen sur des triplets ou des quadruples de nœuds) sont peu maniables et ne tiennent toujours pas compte de distributions de degrés très différentes ou de la distance moyenne sur le chemin le plus court.