Compter le nombre de régions épaisses qui chevauchent un carré

Soit un carré unitaire. En fonction de , quel est le nombre maximum de -gras régions disjointes par paires de diamètre au moins 1 qui peuvent recouper ?$S$$\beta$$\beta$$S$

Ci-dessous, nous donnons un chiffre montrant que pour , le nombre maximum est 7. Qu'en est-il de ?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Rappelez-vous la définition de la graisse pour les régions de l'avion. Compte tenu d' une région , que le cercle de rayon être le plus grand cercle contenu dans , et que le cercle de rayon le plus petit cercle qui contient . Le gras de est donné par , et nous disons que est -fat, pour .$R$r 1 R C 2 r 2 R R r $C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$ Rββ=r$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Par exemple, si , alors les régions sont des cercles unitaires et il y a 7 cercles de diamètre au moins 1 qui peuvent chevaucher sans se chevaucher. Dans la figure ci-dessous, nous avons représenté un carré unitaire et 7 cercles unitaires qui chevauchent le carré.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Je pense que le nombre maximum de régions de graisse disjointes par paire qui chevauchent le carré devrait être fortement lié à l'emballage circulaire.

$\beta=2$

.

et ceux-ci peuvent emballer dans la distance 1 du carré de l'unité évidemment beaucoup plus étroitement que je ne les ai représentés.

Notez que la région réelle de la balle et de la chaîne est définie par la zone verte, et le cercle extérieur est juste un guide pour illustrer le fait que ces régions ont un gras 2. En fait, la partie chaîne de la région peut "plier" pour permettre plus de régions à emballer.