Calcul quantique - Postulats de QM

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Je viens de commencer (indépendant) à apprendre le calcul quantique en général à partir du livre de Nielsen-Chuang.

Je voulais demander si quelqu'un pouvait essayer de trouver du temps pour m'aider avec ce qui se passe avec le postulat de mesure de la mécanique quantique. Je veux dire, je n'essaie pas de remettre en question le postulat; c'est juste que je ne sais pas comment la valeur de l'état du système après la mesure sort à . $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

Même si c'est exactement ce que le postulat semble dire, je trouve vraiment gênant que ce soit cette expression. Je ne sais pas si ce que je demande ici a du sens, mais cela se révèle être quelque chose qui, pour une raison quelconque, me empêche de lire davantage,

quantum-computing quantum-information

— Akash Kumar
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L'expression que vous avez écrite, , n'est pas du tout un état. Je suppose que vous vouliez ajouter un après cela?

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

| ψ >

$|\psi>$

— Robin Kothari

Oui c'est vrai. Je voulais ajouter un après cela

| ψ >

$|\psi>$

— Akash Kumar

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Veuillez modifier votre question si vous remarquez des erreurs.

— Jukka Suomela

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Je ne sais pas si c'est une "explication", mais j'espère que c'est une "description" utile.

Plus généralement que les mesures projectives, on mesure toujours un opérateur . (Un projecteur en est un cas particulier.) Que signifie donc "mesurer un opérateur"?

Eh bien, les opérateurs correspondent souvent à des quantités physiques «observables». Le plus important en mécanique quantique, par exemple, est l'énergie; mais on peut aussi (parfois indirectement) mesurer d'autres quantités, comme le moment angulaire, les composantes z des champs magnétiques, etc. Ce qui est mesuré donne toujours des résultats réels --- en principe, un résultat défini (par exemple, un électron est à l'état « de spin +1/2 » par opposition à « rotation -1/2 », ou dans le premier niveau d'énergie excité par opposition à l'état fondamental en un atome d'hydrogène, etc.), mais chacun a priori possible résultat est réalisé avec une certaine probabilité.

Nous attribuons chacun des résultats réels d'une mesure à un sous-espace. Pour ce faire, nous décrivons un opérateur hermitien --- c'est-à-dire un opérateur qui associe une valeur propre réelle à différents sous-espaces, les sous-espaces se résumant à tout l'espace de Hilbert. Un projecteur est un tel opérateur, où les valeurs réelles sont 0 et 1; c'est-à-dire décrire qu'un vecteur appartient à un sous-espace désigné (donnant une valeur de 1), ou son orthocomplément (donnant une valeur de 0). Ces opérateurs hermitiens sont observables , et les espaces propres sont ceux pour lesquels l'observable a une valeur "définie".

Mais qu'en est-il des vecteurs qui ne sont pas des vecteurs propres, et qui n'ont pas de valeurs "définies" pour ces observables? Voici la partie non explicative de la description: nous les projetons dans l'un des espaces propres, pour obtenir un vecteur propre avec une valeur bien définie. La projection que nous appliquons est déterminée au hasard. La distribution de probabilité est donnée par la règle de Born connue:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

où est le projecteur sur l' espace- c d'une «quantité observable» E (représentée par un opérateur hermitien ). L'état mesuré de post-est quelque projection de l'état sur un certain espace propre de l'observable A . Et donc si est l'état de pré-mesure, est l'état de post-mesure, et est le «résultat réel» mesuré ( c'est -à- dire l'espace propre sur lequel l'état de pré-mesure a été réellement projeté), nous avons le résultat de proportionnalité $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

par la règle de projection qui vient d'être décrite. C'est pourquoi il y a le projecteur dans votre formule.

En général, le vecteur n'est pas un vecteur unitaire; parce que nous souhaitons décrire l'état de post-mesure par un autre vecteur unitaire, nous devons le redimensionner en $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

qui est la racine carrée de la probabilité avec laquelle le résultat se produirait a priori . Et donc, nous récupérons la formule dans votre question,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(Si cette formule semble légèrement maladroite, sachez qu'elle a l'air et se sent un peu mieux si vous représentez des états quantiques par des opérateurs de densité.)

Modifié pour ajouter: ce qui précède ne doit pas être interprété comme une description des POVM. Est mieux vu un « opérateur positif mesure d'une valeur » comme décrivant la valeur attendue des différents mesurables observables E _c dans une collection { E _c } _{c ∈ C} .

— Niel de Beaudrap
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Je vais offrir une autre réponse à la question d'Akash Kumar, qui est que (pour les étudiants en particulier) une bonne approche pour s'attaquer aux mystères de la mécanique quantique consiste à d'abord s'attaquer aux mystères de la mécanique classique.

À cet égard, un manuel de départ recommandé (qui est disponible en livre de poche) est "Symmetry in Mechanics: a Gentle Modern Introduction" de Stephanie Frank Singer ... qui a l'avantage d'être court et clair (dont 120 problèmes travaillés explicitement) et pourtant il embrasse avec confiance les principales idées modernes de la géométrie symplectique et de la théorie des groupes de Lie.

Ici, le fait est qu'au début du 20e siècle, la mécanique quantique et la mécanique classique semblaient être deux théories très différentes de la dynamique. Mais si nous prenons au sérieux la maxime de Vladimir Arnold selon laquelle "la mécanique hamiltonienne est la géométrie dans l'espace des phases; l'espace des phases a la structure d'une variété symplectique", et nous prenons aussi au sérieux la maxime d'Ashtekar / Schilling que "la structure linéaire qui est au premier plan dans les traitements des manuels de la mécanique quantique ne sont, avant tout, qu'une commodité technique et les ingrédients essentiels --- la variété des états, la structure symplectique et la métrique riemannienne --- ne partagent pas cette linéarité ", alors nous arrivons à une meilleure l'appréciation que la thèse de Troy Schilling de 1996 repose sur une base mathématique solide en affirmant que "

Cette approche géométrique unifiée de la dynamique classique / quantique réussit principalement en faisant paraître la mécanique classique plus mystérieuse et la mécanique quantique moins mystérieuse ... et il est bon que les élèves sachent qu'il s'agit d'une (parmi de nombreuses) approches viables pour apprendre les deux types de mécanique.

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Si vous ne les avez pas déjà vus, je recommande fortement les notes de cours de Scott Aaronson "Quantum Computing Since Democritus" , en particulier le cours 9 . Ils m'ont vraiment aidé en tant que non-expert et j'ai essayé de distiller sa présentation aux points principaux ici et ici .

En ce qui concerne votre requête spécifique, je pense que cela aide à construire l'intuition si vous pouvez calculer quelques exemples simples en utilisant la règle de Born et voir comment le postulat de mesure fonctionne dans la pratique.

J'ai trouvé qu'il était plus facile de penser à "La probabilité de mesurer le ième résultat est le carré de l'amplitude du ième élément du vecteur d'état - si vous changez de base pour les vecteurs propres de l'opérateur."

Cela rejoint également parfaitement l'intuition selon laquelle la mécanique quantique est une probabilité avec des nombres complexes - car les carrés des amplitudes doivent résumer à 1.

Tant que vous étudiez l'informatique quantique, vous pouvez également consulter cette discussion sur l'algorithme de Shor .

— Mugizi Rwebangira
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Merci à vous Mugizi ... Les notes de cours de Scott Aaronson semblent vraiment sympas.

— Akash Kumar

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Addenda.

Après avoir réexaminé la forme de votre question ( par exemple le M ^† M dans le dénominateur --- par opposition à un seul opérateur M, qui suffit pour les projecteurs) et avoir reconsulté ma copie de Nielsen et Chaung, voici quelques détails supplémentaires pas couvert par ma réponse précédente. (Je poste cela comme une réponse distincte en raison de la longueur et parce que je pense que c'est encore moins une `` explication '' que ma réponse précédente.)

Supposons que notre seul moyen de mesurer un qubit X est indirecte: par une interaction « faible » avec un Ancilla A , suivi d'une mesure sur A . Nous aimerions être en mesure de parler de ceux - ci comme étant dans un sens un moyen de mesurer X . Comment pourrions-nous décrire une telle mesure en termes de X seul? Eh bien: supposons que nous puissions facilement préparer A dans l'état initial , et effectuer un contrôle unitaire du type suivant, avec X comme contrôle et A comme cible: $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

Nous mesurons ensuite A dans la base standard (de sorte que A stocke maintenant le résultat de la mesure). Cela transforme l'état de X comme suit:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

Dans les équations ci-dessus, notez que si le résultat de la mesure est c , l'état final de X est proportionnel à , où nous définissons $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

et nous pouvons vérifier que les probabilités avec lesquelles nous obtenons les résultats de mesure sont dans chaque cas . $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Ceci est très proche de décrire la transformation de X de la même manière que nous décrivons les mesures projectives. Mais s'agit-il d'une sorte de mesure, à vrai dire? Eh bien: si nous pouvons faire des statistiques sur les résultats de plusieurs itérations de cette procédure, et si X est initialement dans la base standard, nous remarquerions qu'il y a un biais quand nous obtenons le résultat '0': nous l'obtenons plus souvent lorsque X est initialement dans l'état . Si nous pouvons échantillonner suffisamment de fois pour distinguer si les résultats de mesure sont distribués plus comme ou , nous pouvons déterminer avec une forte probabilité si le qubit est initialement dans l'état $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ ou l'état . $|1\rangle$

La similitude des formules de probabilités et de mise à jour avec celles de la mesure projective, et le fait que nous pouvons utiliser des statistiques de mesure pour obtenir des informations sur l'état mesuré, motivent une généralisation de la notion de `` mesure '' pour inclure des procédures telles que celle ci-dessus: nous pouvons décrire les résultats de mesure possibles par un, deux ou plusieurs opérateurs (qui sont en fait des `` opérateurs Kraus '', objets associés aux cartes CPTP), les résultats étant décrits par une règle de Born légèrement généralisée $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

où est un opérateur Kraus associé à votre mesure, et avec une règle de mise à jour donnée par $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

Pour que les probabilités à conserver ( de sorte que avec certitude au moins un des résultats de mesure a lieu), nous avons besoin . C'est la forme la plus générale de votre question, décrite par Nielsen et Chaung. (Encore une fois, cela semble légèrement mieux lors de la description des états par les opérateurs de densité.) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Remarques générales.

En général, chaque fois que nous introduisons une ancilla (ou une collection d'ancillas) A , interagissons un qubit (ou un registre de plusieurs qubits) X unitairement avec A , puis effectuons une mesure projective sur A , cela donne lieu à une sorte de mesure de X ; les opérateurs de mesure peuvent alors être décrits par une collection d'opérateurs semi-finis positifs tels que (encore une fois pour que la probabilité soit conservée). $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Les mesures plus générales et plus faibles décrites ici sont plus étroitement liées aux POVM, qui vous permettent de décrire facilement les probabilités de mesure de manière abstraite, sans choix explicite des transformations , en fournissant des opérateurs et en vous permettant d'utiliser ceux-ci dans la règle de Born pour calculer les probabilités. Comme je l'ai mentionné à la fois ci-dessus et dans ma réponse précédente, les POVM peuvent être considérés comme décrivant des informations statistiquement disponibles sur un système. $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Penser les mesures en termes d'opérateurs Kraus (et en termes de `` registre de résultats de mesure '' A comme ci-dessus) vous permet de subsumer la notion de mesure dans celle d'une carte CPTP, ce qui est une idée que j'apprécie. (Cependant, cela ne change pas vraiment les choses d'un point de vue analytique, et ce n'est pas quelque chose dont vous devriez vous inquiéter si vous n'êtes pas encore à l'aise avec les cartes CPTP).

— Niel de Beaudrap
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La réponse de Niel de Beaudrap concernant les opérateurs Kraus était très bonne. En ce qui concerne le manuel Nielsen et Chuang, cela signifie que l'on devrait lire le chapitre 2, puis le chapitre 8, puis les chapitres intermédiaires.

De plus, la représentation de l'opérateur Kraus a une limite infinitésimale appelée opérateur Lindbladian; de manière générale, les opérateurs de Lindbladian sont pour les opérateurs de Kraus ce qu'une algèbre de Lie est pour un groupe de Lie. Les notes en ligne de Carlton Caves "Cartes complètement positives, cartes positives et forme Lindblad" couvrent une grande partie de ce matériel.

L'avantage de travailler exclusivement avec des opérateurs Lindbladiens infinitésimaux au lieu d'opérateurs Kraus est que les Lindbladiens se replient naturellement sur des espaces d'état quantiques non Hilbert; il s'agit notamment des espaces d'états du réseau tensoriel qui deviennent omniprésents en chimie quantique et en physique de la matière condensée; de plus, les techniques de retrait sont omniprésentes dans la théorie des cordes.

Il n'y a actuellement aucun manuel qui développe cette description géométrique non Hilbert de la dynamique quantique ... mais il devrait y en avoir! Les manuels qui (avec les références ci-dessus) couvrent globalement les idées principales sont John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel et Smit "Understanding Molecular Simulation: from Algorithms to Applications", et Kloeden and Platen "Numerical Solution of Stochastic Differential Equations."

C'est vrai que c'est beaucoup de lecture ... et c'est pourquoi la dynamique quantique géométrique n'est pas enseignée au premier cycle. C'est dommage, car il est trop facile pour les étudiants d'acquérir la notion fixe que l'espace d'état des systèmes dynamiques quantiques est un espace vectoriel linéaire, même si cela n'est pas vrai dans la plupart des calculs pratiques à grande échelle.

En ce qui concerne l'espace d'état que la nature utilise: personne ne le sait - les preuves expérimentales de la linéarité quantique locale (espace tangent) sont assez solides, mais les preuves de la linéarité quantique globale (espace Hilbert) sont assez faibles. En particulier, des expériences de dynamique quantique de faisceau moléculaire de haute précision - que de nombreux manuels présentent comme preuve de la linéarité quantique - peuvent être simulées avec la précision relative requise de ~ 1/2 ^ {65} sur des espaces d'états de réseaux de tenseurs de faible dimension, avec une symplecticité dynamique presque parfaite remplaçant la linéarité dynamique presque parfaite.

Pour les raisons ci-dessus, les étudiants du 21e siècle ne devraient peut-être pas accepter les manuels du 20e siècle à leur valeur nominale. Mais vraiment, quel étudiant du 21e siècle le voudrait autrement?

Ce qui précède est la façon dont les ingénieurs des systèmes quantiques ont adopté un ensemble d'outils mathématiques qui fusionne la naturalité géométrique et algébrique et s'applique généralement aux systèmes dynamiques classiques, quantiques et hybrides.

Édition supplémentaire: Pour tester la faisabilité d'une approche géométrique de la simulation quantique pratique, notre groupe d'ingénierie des systèmes quantiques (QSE) a complété les manuels classiques de Charlie Slichter, Principes de résonance magnétique, avec une version améliorée du chapitre 3 " Élargissement dipolaire magnétique et transport de polarisation dans Réseaux rigides ".

Cette transcription géométrique pointe naturellement vers de multiples questions ouvertes en dynamique géométrique; voir par exemple la question MathOverflow " Dans les simulations dynamiques quantiques, quel est l'analogue symétrique (riemannien) d'une parenthèse de Poisson? "

— John Sidles
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Je vous ai vu brandir le drapeau de cette approche partout sur le net. Avec une ou deux phrases suggestives, pourriez-vous donner une idée de la façon dont les espaces d'état que vous mentionnez sont non linéaires? Avec la quantification géométrique, vous commencez avec une variété M comme espace de phase classique, mais l'espace d'état quantique est l'espace de Hilbert L ^ 2 (M). C'est-à-dire que même si la géométrie classique est hautement non linéaire, la géométrie quantique est toujours linéaire, bien qu'elle soit bien sûr beaucoup plus grande (elle a une dimension infinie et ainsi de suite).

— Per Vognsen

Désolé, j'ai dit un mensonge blanc. En fait, vous devez regarder L ^ 2 sur un faisceau de lignes sur M. Mais le point de base reste.

— Per Vognsen

Par, ce que vous dites est vrai de l'école classique (principalement russe) de "quantification géométrique", dans laquelle on part d'un système classique et en cherche une généralisation quantique. Mais exactement <i> l'opposé </i> se produit dans les modèles Ashtekar / Schilling de "mécanique géométrique quantique", dans lesquels le point de départ est la dynamique symplectique / Lindbladienne sur une variété K & auml; hler.

— John Sidles

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Hmmm ... formons-le mieux! Dans l'école de «quantification géométrique» (principalement russe), on part de la dynamique classique et en cherche une généralisation quantique. Le mouvement opposé est vu dans les modèles Ashtekar / Schilling de "mécanique quantique géométrique", dans lesquels le début est une dynamique symplectique / Lindbladienne sur un espace d'état de Kahler, suivant lequel: (1) présente la dynamique classique comme limite induite par le flux Lindblad , et / ou (2) se replie sur l'espace de Hilbert en tant qu'approximation à grand N (spectral). En génie, les deux dernières méthodes sont couramment utilisées, mais pas communément enseignées.

— John Sidles

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Tout d'abord, pourquoi les observables sont-ils représentés par les opérateurs? En mécanique classique, une observable est une fonction à valeur réelle sur l'espace des phases. Il extrait des informations sur des valeurs telles que l'énergie ou la quantité de mouvement du système, mais ne l'affecte ni ne l'interfère. Si l'observateur fait partie du système, la mesure est un processus physique et peut changer l'évolution du système. Pour que l'évolution temporelle finie et non infinitésimale soit unitaire (c'est-à-dire préserver la probabilité totale), l'évolution temporelle infinitésimale doit être hermitienne. C'est le théorème de Stone; cela explique pourquoi les opérateurs en mécanique quantique sont hermitiens.

Si cela a du sens, la formule découle de deux choses: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ décrit l'évolution temporelle infinitésimale du processus de mesure pour l'observable. Le successeur de est et par dualité le successeur de est . $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
La norme est la probabilité totale de l'état. Combiné avec le point précédent, cela montre que la probabilité totale du successeur est . La division par la racine carrée normalise l'état. $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— Per Vognsen
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Per, je ne suis pas sûr que le premier point soit terriblement clair. Le dans ce cas fait partie d'un ensemble d'opérateurs qui composent une mesure générale (vraisemblablement un POVM), et donc l'évolution n'est pas déterministe. Ce n'est pas non plus continu, donc le commentaire sur l'évolution infinitésimale peut être un peu trompeur. Ce sont vraiment des sauts conditionnels.

M

$M$

— Joe Fitzsimons

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Eh bien, je vais fournir quelques références supplémentaires pertinentes à la question d'Akash Kumar sur les postulats quantiques, en vue d'encourager les étudiants à apprendre les mathématiques dont ils ont besoin pour apprécier les nombreux cadres bien développés pour étudier à la fois la dynamique classique et quantique.

Commençons là où le texte Nielsen-Chuang s'arrête, à savoir avec "Théorème: Liberté unitaire dans la représentation de la somme d'opérateur" (Section 8.2 de Nielsen-Chuang). Le texte de Nielsen et Chuang note qu'une application pratique de ce théorème est venue dans la théorie de la correction d'erreur quantique, où elle a été "cruciale pour une bonne compréhension de la correction d'erreur quantique". Mais alors le texte Nielsen-Chuang se tait.

Les réponses données (jusqu'à présent) ici sur Stack Exchange ne sont pas d'une grande aide pour comprendre cette "liberté unitaire" ... qui s'avère être au cœur de tous les aspects de la mécanique quantique associés à ce qu'Einstein et Bohr ont appelé le "spukhafte Fernwirkungen" (action fantasmagorique à distance) de la mécanique quantique. En particulier, cette liberté unitaire est la clé de la lecture quantique, de la correction d'erreur quantique et de la cryptographie quantique - trois des principales raisons pour lesquelles les étudiants TCS étudient la dynamique quantique.

Pour en savoir plus, que doit lire l'élève? Il existe de nombreuses options (et d'autres peuvent avoir leurs propres préférences), mais je vais recommander les "Méthodes statistiques en optique quantique: champs non classiques" de Howard Carmichael, en particulier le chapitre 17--19, intitulé "Trajectoires quantiques I- III ".

Dans ces trois chapitres, le texte de Carmichael motive physiquement ce que le texte de Nielsen-Chuang code comme postulats et théorèmes formels, à savoir notre liberté de "démêler" les mesures projectives (mesures non projectives aussi) de diverses manières. Physiquement, cette liberté garantit que nous vivons dans un univers causalement séparable, mathématiquement, cette liberté est la base de toute cryptographie quantique et correction d'erreurs.

AFACIT, c'est Carmichael lui-même qui, en 1993, a inventé le terme désormais standard de "démêlage" pour décrire cette invariance informatique. Depuis lors, la littérature qui s'effiloche s'est énormément développée: une recherche en texte intégral sur le serveur arxiv pour "quantum" et "unraveling" trouve 762 manuscrits; la variante orthographe "démêler" trouve 612 manuscrits supplémentaires (éventuellement avec quelques doublons).

Bien sûr, apprendre la panoplie d'outils mathématiques et les idées physiques associées au démêlage quantique demande beaucoup de travail. Il est raisonnable de demander, à quel (s) avantage (s) les étudiants peuvent-ils raisonnablement s'attendre, pour rembourser ce travail acharné? En réponse, voici une parabole d'un paragraphe, dont la principale vertu est qu'elle est immensément plus courte que la lecture de deux textes quantiques très longs et difficiles (Nielsen-Chuang et Carmichael).

Il était une fois, une étudiante en géométrie euclidienne nommée Alice s'est demandée "Comment fonctionne vraiment la mesure de la longueur euclidienne?" Les postulats euclidiens ont répondu à la question d'Alice comme suit: "Toutes les mesures de longueur physique sont équivalentes à des mesures par une boussole, dont le modèle mathématique est un segment de la droite numérique." Pourtant, par un immense effort d'imagination créatrice, Alice a conçu une réponse équivalente mais plus générale: "Toutes les mesures de longueur physique sont équivalentes à des intégrations de vitesses le long de trajectoires, dont le modèle mathématique est des courbes sur des collecteurs qui sont équipées de formes symplectiques et métriques et de potentiels dynamiques. . " Le cadre non euclidien d'Alice pour la dynamique classique a été beaucoup de travail à apprendre, mais il s'est ouvert à ses nouveaux mondes de la science, de la technologie,

Pour rendre explicite le point de la parabole, Alice a embrassé une description différentielle de la dynamique classique et s'est ainsi libérée des contraintes rigides de l'espace euclidien. De même, les étudiants quantiques d'aujourd'hui ont la possibilité d'embrasser une description différentielle de la dynamique de démêlage, et ainsi de se libérer des contraintes rigides de l'espace de Hilbert.

Comme pour la dynamique classique non euclidienne, la dynamique quantique non hilbertienne demande beaucoup de travail --- à l'heure actuelle, il n'y a pas de manuel unique qui couvre tout le matériel requis --- et pourtant ces nouveaux non euclidiens / non hilbertiens les cadres dynamiques ouvrent de vastes nouveaux mondes à l'exploration. Ces explorations s'étendent des mystères de la théorie des cordes aux défis difficiles de l'écriture de codes de simulation quantique efficaces et validés en chimie et en science des matériaux. Il est clair que la recherche dans l'un de ces domaines exige déjà des étudiants à la fois une appréciation plus profonde qu'Euclide de la dynamique classique et une appréciation plus profonde que Hilbert de la dynamique quantique.

C'est pourquoi les défis mathématiques et les opportunités de recherche associés à la dynamique classique et quantique n'ont jamais été aussi importants qu'à l'heure actuelle. Ce qui est bon!