Une paire de cycles homotopiques disjoints dans le dual sépare-t-elle le graphique?

Soit un graphe incrusté sur une surface compacte orientable du genre g pour que l'incorporation soit cellulaire. Considérons le dual du graphe G ∗ . Soit C 1 et C 2 des cycles disjoints dans G ∗ homotopiques l'un avec l'autre et soit E 1 et E 2 leurs ensembles de bords correspondants dans G respectivement. Est G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) un graphique déconnecté?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Oui. Permettez - moi d' écrire la surface sur laquelle G et G * sont intégrés.$\Sigma$$G$$G^*$

Les cycles et C 2 étant homotopes, ils appartiennent également à la même classe d'homologie Z 2 . Ainsi, par définition, la différence symétrique C 1 ⊕ C 2 est la frontière de l'union d'un sous-ensemble de faces de G ∗ ; appeler cette union des visages U . (En fait, soit U soit son complément Σ ∖ U doit être un anneau, mais ce n'est pas important.)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

$\Sigma$