Existe-t-il un exemple d'une classe de graphes pour laquelle le problème de coloration des sommets est en P mais l'ensemble indépendant est le problème est NP complet?
Réponses:
Une déclaration peut-être plus générale (avec une preuve simple) est que le problème suivant est déjà NP-complet:
Entrée: Un graphe G, une coloration 3 de G, un entier k.
Question: G a-t-il un ensemble indépendant de taille k?
Cela peut être prouvé par une réduction de l'ensemble indépendant. Observez que si nous prenons un graphe G, prenons une arête, et la subdivisons deux fois (c'est-à-dire remplacer l'arête {u, v} par un chemin u, x, y, v où x et y ont le degré deux), puis le nombre d'indépendance de G augmente exactement d'un. (Vous pouvez ajouter exactement l'un de x ou y à n'importe quel ensemble qui était indépendant dans G, et l'inverse n'est pas difficile non plus.) Donc, la question si le graphique G avec m bords a un ensemble indépendant de taille k, est équivalente à la question si G ', qui est le résultat de la subdivision de tous les bords en G deux fois, a un ensemble indépendant de taille k + m. Mais notez qu'il est facile d'obtenir une 3-coloration de G ', en partitionnant G' en trois ensembles indépendants comme suit: l'un contient les sommets qui étaient également en G, et les deux autres classes contiennent chacune exactement l'un des deux " subdivider " sommets pour chaque arête. Par conséquent, cette procédure construit un graphe G 'avec une coloration de 3, de sorte que le calcul de son numéro d'indépendance vous donne le numéro d'indépendance du graphe d'origine G.
Soi-disant la référence "Problèmes NP-complets sur un graphe planaire cubique connecté à 3 et leurs applications" par Uehara (un article que je n'ai pas vraiment vu) prouve que l'ensemble indépendant est NP-complet même pour les graphes planaires sans triangle. Mais selon le théorème de Grötzsch, ils sont toujours tricolores, et tester pour un plus petit nombre de couleurs que 3 est facile dans n'importe quel graphique, afin qu'ils puissent être colorés de manière optimale en P.
Les graphes circulaires ont la propriété opposée: pour eux, la coloration est NP complète mais le problème d'ensemble indépendant est facile.
Ce n'est pas une nouvelle réponse mais plutôt une clarification de la première référence facile à obtenir pour la dureté de SET INDÉPENDANT dans les graphiques planaires cubiques sans triangle: la note d'Owen Murphy, Calcul des ensembles indépendants dans les graphiques à large circonférence , Mathématiques appliquées discrètes 35 (1992) 167-170 prouve que
La réduction indiquée par @ BartJansen est un cas particulier dans la preuve de Murphy de son théorème.
Pour la propriété opposée, les graphes linéaires semblent être plus naturels que les graphes circulaires tels qu'adressés par @DavidEppstein. Pour les graphiques linéaires, COLORING est NP-complete mais INDEPENDENT SET est facile.