Construire des vecteurs en position générale

Soit une matrice ( ) réelle avec la propriété que toute collection de colonnes est de rang complet. $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

Q: Existe - t-il un moyen efficace de trouver de manière déterministe un vecteur tel que la matrice augmentée conserve la même propriété que : toutes les colonnes sont de rang complet. ${\bf a}$ ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

Sidenote pertinent: Une matrice qui possède cette propriété est le générateur d'un code Reed-Solomon : l'ajout de colonnes qui préservent sa structure Vandermonde préserve la propriété rank. $(n,k)$

— Dimitris
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Je ne sais pas si je comprends votre point. J'ai besoin de , n'est pas un problème.

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k ne change pas: dans le cas de k = n, seulement n des (maintenant) n + 1 colonnes doivent être de rang complet. Dans ce cas, le problème devrait être facile: trouver une transformation affine de la matrice en une base orthogonale de R ^ n, puis laisser a être le vecteur dont l'image en dessous est le vecteur tous les 1.

— Suresh Venkat

Il me semble que cela devrait être un moyen de le faire via le Grassmanian, mais je ne vois pas trop comment.

— Suresh Venkat

@Suresh Oui, en effet, pour le cas n = k + 1, il semble être résoluble comme vous le mentionnez. Ou vous pouvez simplement choisir pour être dans l'espace nul de tous les , -collections de vecteurs.

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

— Dimitris

bonne question. sonne comme une version plus faible du problème de vérification de la propriété d'isométrie restreinte, qui est grande ouverte pour autant que je sache.

— Sasho Nikolov

Si vous choisissez uniforme au hasard dans l'hypercube , la matrice aura la propriété désirée avec une probabilité . $\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
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Je ne peux qu'être d'accord :). Le problème survient lorsque vous voulez vérifier qu'un tel vecteur fonctionne (peu importe s'il le fait). Vous devez vérifier

sous-ensembles de colonnes. Ce problème de vérification devient plus pertinent lorsque l'on considère des champs finis (d'ordre fixe), mais j'ai essayé d'éviter d'en parler.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

La question demande spécifiquement un algorithme déterministe efficace. Si vous répondez à quelque chose de connexe mais ne remplit pas la condition énoncée dans la question, vous devez le dire explicitement à mon avis.

— Tsuyoshi Ito du

@TsuyoshiIto quoi, vous n'aimez pas les chatons? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: En pratique, il serait amusant que mon ordinateur se transforme soudain en chaton. En théorie, cependant, vous devez d'abord définir un chaton.

— Tsuyoshi Ito le

@ Jɛ ﬀ E J'aurais peut-être dû préciser pourquoi cette question présente un certain intérêt. La vraie question est la même mais sur des champs finis, mais j'ai tendance à penser que les champs compliquent les questions d'algèbre linéaire. L'application est la conception de "bonnes" matrices de générateur de code. Les variables aléatoires (entrées iid) peuvent être montrées pour satisfaire la propriété whp, en utilisant des outils comme le lemme de Schwartz – Zippel. Pour ce problème, SZ nécessite généralement des ordres de champ de

et vous ne pouvez pas vérifier efficacement que les matrices fonctionnent vraiment. Pourquoi est-ce important? Parce que les codes qui sont très probablement fiables ne sont parfois pas préférés.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris