Dans Graphic TSP , vous obtenez un graphe non orienté non pondéré et l'objectif est de trouver un tour le plus court dans G qui visite chaque sommet au moins une fois . Notez que ce n'est pas identique à la recherche d' un circuit hamiltonien dans G . Mes questions sont:
Quelle est la complexité de Graphic TSP sur les graphiques à largeur d'arbre bornée?
Existe-t-il des cas particuliers de Graphic TSP avec des algorithmes non triviaux en temps polynomial?
Réponses:
Pour autant que je sache, la programmation dynamique fait l'affaire
L'article de Klein sur le TSP pour les graphes planaires contient les détails des graphes planaires avec une largeur d'arbre bornée. Si le graphique n'est pas planaire, le programme dynamique est plus lent (la dépendance à la largeur de l'arbre est pire).
Philip N. Klein: Un schéma d'approximation de temps linéaire pour le TSP dans les graphes planaires non orientés avec des poids de bord . SIAM J. Comput. 37 (6): 1926-1952 (2008) ( PDF sur le site Web de Philip Klein )
La programmation dynamique est également utilisée pour obtenir un PTAS pour les graphiques à genre borné et sans mineur (mais pour autant que je m'en souvienne, les auteurs ne précisent pas les détails du DP).
Erik D. Demaine, MohammadTaghi Hajiaghayi, Bojan Mohar: algorithmes d'approximation via la décomposition de la contraction . Combinatorica 30 (5): 533-552 (2010) (Article sur le site Web d'Erik Demaine )
Erik D. Demaine, MohammadTaghi Hajiaghayi, Ken-ichi Kawarabayashi: Décomposition de la contraction dans les graphiques sans H mineur et les applications algorithmiques . STOC 2011: 441-450
Pour les vidéos sur ces constructions PTAS, voir Planar TSP et Minor-free TSP (encore une fois ne se concentrant pas sur la partie de largeur d'arbre).
Jetez un coup d'œil à Marek Cygan, Jesper Nederlof, Marcin Pilipczuk, Michał Pilipczuk, Johan van Rooij, Jakub Onufry Wojtaszczyk, " Résoudre les problèmes de connectivité paramétrés par la largeur d'arbre en un seul temps exponentiel ", 2011.