Renforcement de la submodularité

Une fonction d'ensemble est sous-modulaire monotone si pour tout A , B , f ( A ) + f ( B ) ≥ f ( A ∪ B ) + f ( A ∩ B ) $f$$A,B$

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

Une propriété plus forte est Prenant C =

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ , cette propriété implique une sous-modularité monotone.$C = A\cup B$

Cette propriété est-elle connue?

Contexte

Cette propriété est apparue en essayant de caractériser les fonctions de couverture. Étant donné un univers pondéré (tous les poids sont non négatif) et une famille X de sous - ensembles de U , la fonction de couverture f ( S ) est défini pour S ⊆ X comme étant le poids total des éléments couverts par des ensembles de S . La fonction f est toujours monotone et sous-modulaire. L'inverse n'est pas vrai.$U$$X$$U$$f(S)$$S \subseteq X$$S$$f$

La propriété en question implique que est une fonction de couverture dans le cas | X | = 3 . Des propriétés similaires et plus compliquées fonctionnent pour un X plus grand . Toutes ces propriétés sont satisfaites par les fonctions de couverture, il s'agit donc d'une caractérisation complète.$f$$|X| = 3$$X$

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

Quelque chose de similaire était déjà connu en probabilité. Une fonction de couverture peut également être considérée comme une mesure de probabilité (jusqu'à une constante de mise à l'échelle). La seule référence que j'ai pu trouver était la page 439 du livre de Feller sur la probabilité.

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ The "aggregate" condition is mentioned in the paper "A characterization of a cone of pseudo-boolean functions via supermodularity-type inequalities" by Cramma, Hammer and Holtzman (inequality (4)), which is part of the rare collection "Quantitative Methoden in den Wirtschaftswissenschaften". This condition should be the same as mine.

Edit: The actual condition that Cramma, Hammer and Holtzman give is

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ If you put $C = \varnothing$, you get submodularity.