Achèvement minimal du graphique à cycle impair sans accords: est-il difficile à NP?

Le problème intéressant suivant est apparu récemment dans mes recherches:

INSTANCE: Graphique . $G(V, E)$

SOLUTION: un achèvement de cycle impair sans corde, défini comme un surensemble de l'ensemble de bords sorte que le graphe complété a la propriété que chaque bord de est contenu dans un cycle impair sans accord. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

MESURE: la taille de l'achèvement, c'est-à-dire . $|E' - E|$

Jusqu'à présent, nous avons pu prouver qu'une version modifiée de ce problème est NP-complète, où au lieu d'exiger que "chaque bord de soit contenu dans un cycle impair sans accord" nous avons besoin de la propriété plus forte que "chaque bord est contenu en triangle (cycle de longueur 3) ". (Notez que ce n'est pas équivalent au problème de MINIMUM CHORDAL GRAPH COMPLETION .) $G'$

Le premier est facilement considéré comme une généralisation du second, mais jusqu'ici tous mes efforts pour le prouver ont échoué. Quelqu'un pourrait-il trouver un pointeur / référence / etc.?

— Gabor Retvari
source

le problème semble fortement lié aux graphes parfaits qui sont parfaits s'il y a un (anti) trou impair (cycle impair sans corde au moins de longueur 5) [plus sur wikipedia]. suggérons donc peut-être que vous essayez de reformuler la question en termes de question sur des graphiques parfaits.

— vzn

@vzn: Je ne suis pas sûr que ce théorème fort puisse être utile ici.

— domotorp

Pouvons-nous décider dans P si chaque bord de G est contenu dans un cycle impair sans accord? Je suppose que c'est possible, mais je ne vois pas comment.

— domotorp

Eh bien, nous avons maintenant deux problèmes. Facilement, nous aurions une décision en P si nous pouvions décider pour chaque bord s'il est dans un cycle impair sans accord. J'ai trouvé une référence , déclarant que les questions "Un graphique contient-il un cycle impair induit de longueur supérieure à trois, passant par un sommet prescrit?" et "Un graphique contient-il un chemin impair induit entre deux sommets prescrits?" sont NP-complet, mais ceux-ci ne règlent pas complètement notre cas. Il peut s'avérer que le problème d'origine n'est pas dans NP, mais peut toujours être NP-difficile.

— Gabor Retvari

pouvez-vous indiquer quelle section de votre document vous définissez le problème ci-dessus et quel thm dans le document auquel vous faites référence. à ("version modifiée prouvée NP complète")

— vzn

Nous prouvons que le problème est NP-difficile même dans sa forme de décision, c'est-à-dire '' Le graphe d'entrée déjà un cycle impair sans fin? '' Par réduction du problème suivant: $G$

Problème P : Étant donné un graphe et une arête , y a-t-il un cycle impair sans corde de longueur supérieure à 3 passant par ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Ce problème est connu pour être NP-difficile par réduction de la '' détection de cycles pairs sans accords passant par un nœud donné '' dans la référence donnée dans l'un de vos commentaires qui est indiqué dans le paragraphe avant la section 3 en laissant et : $p=0$ $q=2$

Soit dit en passant, soit et des entiers fixes arbitraires. Les problèmes suivants sont NP-complets: un graphe contient-il un cycle induit à travers un sommet prescrit , de longueur (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Il peut y avoir une réduction de Karp, mais si nous autorisons une réduction de Cook, considérons la réduction suivante: Remplacer le nœud de degré d donné dans un sous-graphique complet de taille d avec des bords sortants appropriés. Ensuite, pour chaque bord du graphique complet, nous pouvons interroger l'oracle qui résout le problème P. Notez qu'un cycle pair sans corde passant par le nœud donné correspond à un cycle impair sans corde de longueur supérieure à 3 passant par l'un des bords du graphique complet.)

Maintenant pour la réduction principale. Étant donné une instance du problème P, nous détectons d'abord s'il y a des triangles passant par ; si c'est le cas, supprimez tous les nœuds qui forment un triangle avec . Notez que la suppression de nœuds qui forment un triangle avec ne supprimera aucun cycle impair sans accord passant par (par la propriété sans accord). $e$ $e$ $e$ $e$

Ensuite, pour chaque arête autre que nous ajoutons un nœud auxiliaire et deux arêtes et . Observez que le nouveau graphe a la propriété suivante: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

a un cycle impair sans accord de longueur supérieure à 3 passant par si et seulement si est un cycle impair sans achèvement. $G$ $e$ $G'$

Pour la seule direction if, cela peut être prouvé en considérant différents types d'arêtes dans . Chaque arête autre que (y compris les arêtes nouvellement ajoutées) sera dans au moins un triangle (celui qui contient le nœud auxiliaire); et sera dans un cycle impair sans accord en car il y a un cycle impair sans accord passant par dans , et le cycle n'est pas supprimé pendant le processus de suppression de nœud. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

$e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
source

J'ai du mal à suivre l'une ou l'autre des réductions. Dans la première réduction, si le nœud donné v a un degré, disons 5, alors après la réduction il devient K_5, et ce K_5 contient un cycle de longueur impaire, mais il ne correspond pas à un cycle de longueur paire contenant v. la réduction principale, supposons que G = (V, E) où V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} et e = 34. G a un cycle de longueur 5 qui passe par e, mais en G ', l'arête 34 est un pont et n'appartient à aucun cycle impair, si je comprends bien la définition de votre réduction.

— Tsuyoshi Ito

e

$e$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

@ Hsien-ChihChang 張顯之: de toute façon: puisque la prime expire bientôt et que je serai loin de mon ordinateur, je vous attribue le prix maintenant. Merci beaucoup pour votre réponse, cela m'a vraiment aidé à penser le problème de nouvelles façons. Si vous pouvez revenir plus tard et nettoyer les problèmes ci-dessus, je vous en serais très reconnaissant.

— Gabor Retvari

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之