Émulation Oblivious Turing Machine borne inférieure

Existe-t-il une preuve que l'émulation d'une machine de Turing sur une machine de Turing inconsciente ne peut pas être effectuée en moins de $\mathcal{O}\left(m\log m\right)$ where $m$ is the number of steps the Turing machine uses? Or is this just an upper bound?

In the paper of Paul Vitányi about relativized oblivious Turing machines, Vitányi claims

"They [Pippenger and Fischer, 1979] showed that this result cannot be improved in general, since there is a language L wich is recognized by a 1-tape real-time Turing machine $M$ , and any oblivious Turing machine $M'$ recognizing $L$ must use at least an order $O(n \log n)$ steps".

This should state $O(m \log m)$ as an absolute bound. However I don't find any proof of this in

Pippenger, Nicholas; Fischer, Michael J., Relations among complexity measures, J. Assoc. Comput. Mach. 26, 361-381 (1979). ZBL0405.68041.

Any ideas? Furthermore, what is the space complexity of this emulation? As far as I know the conversion to a universal Turing machine only doubles the tape length. Can I assume that the space complexity is $\mathcal{O}\left(l\right)$ with $l$ the space complexity of the original Turing machine?

cc.complexity-theory turing-machines

— Willem Van Onsem
source

Please match parentheses and define what T is. I think that it is still open, but I am not an expert.

— Tsuyoshi Ito

what's an oblivious turing machine ?

— Suresh Venkat

An Oblivious Turing Machine is a Turing Machine where the movement of the heads only depends on the length of the input and not the input itself. For instance linear search (if the head keeps moving until it has reached the end of the input)

— Willem Van Onsem

Réponses:

Comme mentionné ci-dessus, on ne sait pas en général s'il existe une simulation inconsciente plus rapide.

Mais des limites inférieures intéressantes pour ce problème sont connues, dans des conditions plus contraintes. Par exemple, si vous voulez une simulation inconsciente qui préserve non seulement le temps $t$ mais aussi l'utilisation de l'espace $s$ ? Beame et Machmouchi ont récemment prouvé un compromis intéressant espace-temps limite inférieure pour ce problème: soit l'espace doit augmenter d'un facteur de $n^{1-o(1)}$ ou le temps doit être multiplié par $\Omega(\log n \cdot \log \log n)$ .

Le document est ici: http://eccc.hpi-web.de/report/2010/104/

— Ryan Williams
source

Juste un commentaire étendu: je pense que c'est toujours un problème ouvert; voir le blog de Lipton et Regan pour de belles discussions sur l'amélioration du résultat du théorème de Fischer-Pippenger .

Par exemple, voir les articles: Oblivious Turing Machines et a "Crock" or Circuits Bounds for Turing Machine Computations (tous deux datés de 2009).

Dans le deuxième post, ils montrent qu'un meilleur circuit lié ( $O(n \log {\log n})$ ) est possible en utilisant une fonction booléenne partielle $g:2^n \to \{0,1,*\}$ qui se rapproche de la fonction d'origine $f$ sur $2^{n-o(n)}$ inputs.

— Marzio De Biasi
source

I've read the Fischer-Pippenger theorem and it's proof. However never in the proof there is a component that says that this there is no faster method. I was wondering if there exists a proof that says this is the guaranteed minimum. If you look at the proof they emulate the TM on a UTM and then perform a little hack to make it oblivious. However one can argue the first step is only necessary to know how the machine will behave.

— Willem Van Onsem

@CommuSoft Personne ne suggère que la preuve est tout sauf une preuve de limite supérieure. Les articles de blog suggèrent que l'amélioration de Fischer-Pippenger est un problème ouvert.

— Sasho Nikolov

@CommuSoft: It is an open problem ... perhaps a faster method exists or someone will prove that it is the best achievable.

— Marzio De Biasi

Well I'm reading a paper published by Paul Vitányi called "Relativized Obliviousness" that seems to claim the time is at least O(m log m). However I'm not quite sure yet if it uses the Fischer-Pippenger theorem to proof this.

— Willem Van Onsem