Problème d'arrêt, ensembles non calculables: preuve mathématique commune?

On sait qu'avec un ensemble dénombrable d'algorithmes (caractérisés par un nombre de Gödel), nous ne pouvons pas calculer (construire un algorithme binaire qui vérifie l'appartenance) tous les sous-ensembles de N.

Une preuve pourrait être résumée comme suit: si nous le pouvions, alors l'ensemble de tous les sous-ensembles de N serait dénombrable (nous pourrions associer à chaque sous-ensemble le numéro de Gödel de l'algorithme qui le calcule). Comme c'est faux, cela prouve le résultat.

C'est une preuve que j'aime car elle montre que le problème est équivalent aux sous-ensembles de N qui ne sont pas dénombrables.

Maintenant, je voudrais prouver que le problème d'arrêt n'est pas résolu en utilisant uniquement ce même résultat (dénombrabilité de N sous-ensembles), car je suppose que ce sont des problèmes très proches. Est-il possible de le prouver de cette façon?

computability halting-problem

— Weier
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Il est clair que les deux résultats peuvent être prouvés en utilisant la même technique (diagonalisation). Cependant, je ne pense pas qu'il soit possible de prouver l'indécidabilité du problème d'arrêt simplement en utilisant l'indénombrabilité de la famille de sous-ensembles de ℕ, car la première concerne la comparaison entre RE et R , qui sont toutes deux des familles dénombrables de sous-ensembles de ℕ.

— Tsuyoshi Ito

Il n'y a que de nombreux programmes ayant accès à l'oracle d'arrêt, encore une fois caractérisé par un numéro Godel. Cependant, le problème d'arrêt EST parmi cet ensemble dénombrable.

— David Harris

Le théorème d'arrêt, le théorème de Cantor (le non-isomorphisme d'un ensemble et de son ensemble de puissance) et le théorème d'incomplétude de Goedel sont tous des exemples du théorème de Lawvere à point fixe, qui dit que pour toute catégorie fermée cartésienne, s'il existe une carte épimorphique puis tous les a un point fixe. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Lawvere, F. William. Arguments diagonaux et catégories fermées cartésiennes . Notes de cours en mathématiques, 92 (1969), 134-145.

Pour une belle introduction à ces idées, consultez cet article de blog d'Andrej Bauer .

— Neel Krishnaswami
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c'est assez soigné. Je ne savais pas qu'il y avait un véritable argument formel les unifiant.

— Suresh Venkat

J'ai maintenant appris à soupçonner que, si elle a la même apparence et sent la même chose, il y a un argument catégorique sur le sens dans lequel elle est la même.

— Vijay D

OMI, les deux choses vraiment agréables à propos du théorème de Lawvere sont que (a) c'est une déclaration positive, plutôt que négative, et (b) la preuve est une demi-douzaine de lignes de calculs de calcul lambda simples.

— Neel Krishnaswami

En lisant la question, je me suis dit que quelqu'un devrait mentionner le théorème du point fixe de Lawvere. Imaginez ma joie quand j'ai lu la réponse :-)

— Andrej Bauer

Etre épimorphique n'est pas la bonne condition. Vous avez besoin d'une surjectivité ponctuelle, qui n'implique ni n'est impliquée par la condition d'être épimorphique. Voir la remarque

— fhyve