Dureté de calcul des étiquettes Weisfeiler-Lehman

L' algorithme Weisfeiler-Lehman 1-dim (WL) est communément appelé algorithme d'étiquetage canonique ou de raffinement des couleurs. Cela fonctionne comme suit:

• La coloration initiale est uniforme, C 0 ( v ) = 1 pour tous les sommets v ∈ V ( G ) ∪ V ( H ) .$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• Au premier tour, la couleur C i + 1 ( v ) est définie comme étant une paire constituée de la couleur précédente C i - 1 ( v ) et du multiset de couleurs C i - 1 ( u ) pour tout u adjacent à v . Par exemple, C 1 ( v ) = C 1 ( w ) ssi v et $(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$ avoir le même degré.
• Pour garder l'encodage des couleurs court, après chaque tour, les couleurs sont renommées.

Étant donné deux graphes non dirigés et H , si le multiset de couleurs (aka labels) des sommets de G est distinct du multiset de couleurs des sommets de H , l'algorithme signale que les graphes ne sont pas isomorphes; sinon, il les déclare isomorphes.$G$$H$$G$$H$

Il est bien connu que le WL 1-dim fonctionne correctement pour tous les arbres et ne nécessite que des tours .$O({\log}n)$

Ma question est :

Quelle est la dureté du calcul des étiquettes WL 1-dim d'un arbre? Une limite inférieure est-elle meilleure que l'espace de journalisation?

Le problème de décider si deux graphes ont des étiquetages équivalents et donc aussi le problème du calcul de l'étiquetage canonique sont PTIME complet. Voir

M. Grohe, Equivalence in finite-variable logics is complete for polynomial time. Combinatorica 19: 507-532, 1999. (Version conférence dans FOCS'96.)

Notez que l'équivalence du raffinement des couleurs correspond à l'équivalence dans la logique C ^ 2.

-Martin