NP-dureté d'un problème de partition graphique?

Ce problème m'intéresse: étant donné un graphe non orienté , y a-t-il une partition de en graphes et tels que et $G(E, V)$ $G$ $G_1(E_1, V_1)$ $G_2(E_2, V_2)$ $G_1$ $G_2$ sont isomorphes?

Ici, est partitionné en deux ensembles disjoints et . Les ensembles et ne sont pas nécessairement disjoints. et $E$ $E_1$ $E_2$ $V_1$ $V_2$ $E1∪E2=E$ $V1∪V2=V$ .

Ce problème est au moins aussi difficile que le problème d'isomorphisme graphique. Je suppose que c'est plus difficile que Graph Isomorphism mais pas NP-hard.

Ce problème de partition dur? $NP$

EDIT 3-3-2012: Publié sur MathOverflow .

EDIT 3-5-2012: Il s'avère que la référence dans la réponse de Diego est l'un des résultats non publiés. Après quelques recherches, j'en ai trouvé une référence dans The NP-Completeness Column: An Ongoing Guide de David JOHNSON (page 8). J'ai trouvé d'autres articles qui citent le résultat d'exhaustivité NP de Graham et Robinson comme non publié.

cc.complexity-theory graph-theory graph-isomorphism

— Mohammad Al-Turkistany
source

Je pense que vous voulez dire

, sinon c'est simplement résoluble dans

et je l'ai mentionné parce que si

sont disjoints, l'union ne peut pas être vraie dans le cas général ( pour les bords).

E_{1} \cup E_{2} = E

$E_1\cup E_2 = E$

V_{1} \cup V_{2} = V

$V_1\cup V_2 = V$

P

$P$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

— Saeed

@Saeed, GI, qui n'est pas connu pour être en P, est réductible à ce problème.

— Mohammad Al-Turkistany

Semble lié au jeu de préservation de la rupture de symétrie (voir les articles de Harary: "Une stratégie symétrique dans les jeux d'évitement de graphes", "Sur les longueurs des jeux de rupture-préservation de symétrie sur les graphiques") ... les deux "trop loin" de mon niveau de expertise :-(

— Marzio De Biasi

Je pense que vous pouvez supposer

V_{1} = V_{2} = V

$V_1=V_2=V$

— Diego de Estrada

, il existe un

puisque

. Vous pouvez ajouter

et les mapper dans l'isomorphisme, car ils sont isolés dans les sous-graphiques.

v \in V_{1} - V_{2}

$v\in V_1-V_2$

w \in V_{2} - V_{1}

$w\in V_2-V_1$

| V_{1} | = | V_{2} |

$|V_1|=|V_2|$

v

$v$

V_{2}

$V_2$

w

$w$

V_{1}

$V_1$

— Diego de Estrada

J'ai trouvé que ce problème est NP-difficile, même limité aux arbres. La référence est Graham et Robinson, "Factorisations isomorphes IX: même les arbres", mais je n'ai pas pu l'obtenir.

— Diego de Estrada
source