Problème de vecteur algorithmique

J'ai un problème algébrique lié aux vecteurs dans le domaine GF (2). Soit (0,1) de dimension et . Trouver un algorithme polynomial temporel qui trouve un (0,1) -vecteur de la même dimension tel que n'est pas la somme des vecteurs parmi . L'addition de vecteurs se fait sur le champ GF (2), qui a deux éléments 0 et 1 ( , et ).$v_1, v_2, \ldots, v_m$$n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

Il est facile de voir l'existence d'un tel vecteur u par un simple argument de comptage. Pouvons-nous trouver dans un temps polynomial? Il est trivial de trouver en temps exponentiel. J'enverrai un chèque de 200 $ pour la première solution correcte.$u$$u$

Il semble y avoir une faute de frappe; Je suppose que vous voulez dire trouver qui est pas la somme de ( log n ) O ( 1 ) vecteurs parmi v 1 , ... , v m (non n ).$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

Il n'est pas clair pour moi si une constante dans fonctionne pour vous. Si vous pouvez vous contenter de sommes inférieures à des vecteurs log m, il y a peut-être quelque chose à faire. Mais si vous voulez que cette quantité soit ( log m ) 1 + δ , alors je pense que c'est assez difficile (je travaille sur ce problème depuis longtemps).$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

Vous pouvez toujours être intéressé de savoir qu'il s'agit d'une instance du problème de point distant d'Alon, Panigrahy et Yekhanin ("Algorithmes d'approximation déterministes pour le problème de mot de code le plus proche") pour certains paramètres. Soit et v 1 , … , v m les colonnes de la matrice de contrôle de parité d'un code linéaire en { 0 , 1 } m de dimension d = m - n (si cette matrice n'avait pas de rang complet, la problème serait trivial). Alors votre problème est équivalent à trouver u ∈ { 0 $m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$ qui est ( log n ) O ( 1 ) -loin du code. Ce paramétrage, où la dimension est très proche de m, n'est pas étudié dans l'article. Cependant, ils ne peuvent atteindre l'éloignement log m jusqu'à la dimension d = c m pour une constante c . En fait, je ne pense pas que nous connaissions de certificat de taille polynomiale qui nous permette deprouverqu'un vecteur est supérieur à ω ( log m ) - loin d'un espace de dimension Ω ( m $u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$, encore moins le trouver.

Un autre lien est avec l'apprentissage des parités dans le modèle lié à l'erreur. Si l'on peut apprendre efficacement parités O ( 1 ) (définies sur 0 , 1 m ) avec une erreur strictement inférieure à n , alors on peut définir des valeurs arbitraires sur les n - 1 premiers bits de u et `` forcer une erreur '' sur le dernier bit en le mettant à la valeur opposée à celle prédite par l'apprenant. Cela semble cependant beaucoup plus fort.$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

Le problème est également lié à la séparation de l'EXP de certaines réductions des ensembles clairsemés.