Problèmes succincts dans

L'étude de la représentation succincte des graphiques a été lancée par Galperin et Wigderson dans un article de 1983, où ils prouvent que pour de nombreux problèmes simples comme la recherche d'un triangle dans un graphique, la version succincte correspondante dans -complete. Papadimitriou et Yanakkakis poursuivent cette ligne de recherche et prouvent que pour un problème qui est -complete / -complete, la version succincte correspondante, à savoir Succinct est respectivement, -complete et -complete. (Ils montrent également que si est$\mathsf{NP}$N P P$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$E X P Π N L Π P S P A C $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-complete, alors Succinct est -complete.$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

Maintenant ma question est, y a-t-il des problèmes connus pour lesquels, la version succincte correspondante est dans ? Je serais intéressé à connaître d'autres résultats connexes (à la fois positifs et impossibles, le cas échéant) que j'aurais pu manquer ci-dessus. (Je n'ai pas pu trouver quoi que ce soit d'intérêt par une recherche Google, car les mots de recherche comme succinct, représentation, problèmes, graphiques conduisent à presque n'importe quel résultat de complexité! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Voici un problème intéressant dont la version succincte a des propriétés intéressantes. Définissez Circuit-Size- comme étant le problème: étant donné une fonction booléenne sous la forme d'une chaîne de bits, cette fonction a-t-elle un circuit de taille au plus ? Notez que ce problème est dans .2 n 2 n / 2 N $2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Une façon de définir Succinct-Circuit-Size- serait: pour une constante , étant donné un entrée, -size circuit , nous voulons savoir si sa table de vérité est une instance de Circuit-Size- . Mais c'est un problème trivial: toutes les entrées qui sont des circuits réels sont des instances oui. Donc , ce problème est en . k n n k C 2 n / 2$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Une manière plus générale de définir Succinct-Circuit-Size- serait: on nous donne un circuit arbitraire et nous voulons savoir si sa table de vérité code pour une instance de Circuit-Size- . Mais si est le nombre d'entrées de , est la taille de et , nous pouvons accepter automatiquement: l'entrée elle-même est un témoin du langage. Sinon, nous avons . Dans ce cas, la longueur d'entrée est déjà énorme, nous pouvons donc essayer toutes les affectations possibles dans C 2 n / 2 n C m C m ≤ 2 n / 2 m ≥ 2 n / 2 m 2 n m O ( 1 ) N P N P N $2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$$2^n$$m^{O(1)}$temps, obtenir la table de vérité de la fonction, et maintenant nous revenons au problème origine . C'est donc un problème dans dont la version succincte est également dans .$NP$$NP$$NP$

Ce problème ne serait pas dur ; voir l'article de Kabanets et Cai (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Étant donné que même si le graphique représenté par une représentation succincte donnée contient ou non au moins une arête est équivalent au Circuit SAT et donc NP-complet, il est tentant de prétendre que toute propriété intéressante d'une représentation succincte doit être NP-dure sous une définition appropriée de «intéressant». Cette affirmation serait un analogue théoriquement complexe du théorème de Rice . Hélas, trouver l'analogue théorique le plus général de la complexité du théorème de Rice est un problème ouvert , bien qu'il existe des résultats qui donnent certaines formes de tels analogues théoriques de la complexité.

Je ne voulais pas que ce soit une réponse, mais cela nécessiterait trop de commentaires. J'espère que c'est utile.

$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$

$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

$\Pi$