Problèmes ouverts aux frontières du TCS

Dans le fil Problèmes majeurs non résolus en informatique théorique? Iddo Tzameret a formulé l’excellent commentaire suivant:

Je pense que nous devrions faire la distinction entre les grands problèmes ouverts qui sont considérés comme des problèmes fondamentaux, comme , et les grands problèmes ouverts qui constitueront une avancée technique, s’ils sont résolus, mais ne sont pas nécessairement aussi fondamentaux, par exemple, des limites inférieures exponentielles en mode circuits (c.-à-d. AC ^ 0 + \ mod 6 portes). Nous devrions donc éventuellement ouvrir un nouveau wiki de communauté intitulé "Problèmes ouverts aux frontières du SDC", ou similaire.$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

Depuis Iddo n'a pas commencé le fil, j'ai pensé que je vais commencer ce fil.

Les chercheurs travaillant dans des domaines connexes connaissent souvent les principaux problèmes en suspens dans des domaines, mais le point de blocage des recherches en cours est inconnu des étrangers. L'exemple cité est un bon exemple. En tant qu'étranger, il est clair que l'un des plus gros problèmes de complexité des circuits est de montrer que NP nécessite des circuits de taille super-polynomiale. Mais les observateurs extérieurs peuvent ne pas se rendre compte que le point actuel où nous sommes bloqués tente de prouver des limites inférieures exponentielles pour les circuits AC ⁰ à portes mod 6. (Bien sûr, il pourrait y avoir d'autres problèmes de complexité de circuit de difficulté similaire qui décriraient où nous sommes bloqués. Ce n'est pas unique.) Un autre exemple est de montrer les limites inférieures de l'espace-temps pour SAT meilleures que n ^1.801 .

Ce fil est pour des exemples comme celui-ci. Comme il est difficile de caractériser de tels problèmes, je donnerai juste quelques exemples de propriétés que de tels problèmes possèdent:

1. Ne seront souvent pas les grands problèmes ouverts du terrain, mais constitueront une avancée majeure si elles sont résolues.
2. Généralement pas incroyablement difficile, dans le sens où si quelqu'un vous disait que le problème avait été résolu hier, ce ne serait pas trop difficile à croire.
3. Ces problèmes auront souvent des nombres ou des constantes qui ne sont pas fondamentaux, mais ils sont dus au fait que c’est là que nous sommes coincés.
4. Le problème aux frontières d'un domaine particulier continuera d'évoluer de temps en temps, contrairement au plus gros problème du domaine, qui restera le même pendant de nombreuses années.
5. Ces problèmes sont souvent les plus faciles à résoudre. Par exemple, nous n’avons pas non plus de bornes inférieures exponentielles pour AC ¹ , mais comme [6] est inclus dans cette classe, il est formellement plus facile de montrer les limites inférieures pour [6], et c’est donc à la frontière actuelle de la complexité du circuit.$AC^0$$AC^0$

Merci de poster un exemple par réponse; les conventions standard de grande liste et CW s'appliquent. Si quelqu'un peut expliquer les types de problèmes que nous recherchons mieux que moi, n'hésitez pas à modifier ce message et à apporter les modifications appropriées.

EDIT: Kaveh a suggéré que les réponses incluent également une explication de la raison pour laquelle un problème donné est à la frontière. Par exemple, pourquoi cherchons-nous des limites inférieures à AC ⁰ [6] et non à AC ⁰ [3]? La réponse est que nous avons des limites inférieures contre AC ⁰ [3]. Mais la question évidente est de savoir pourquoi ces méthodes échouent pour AC ⁰ [6]. Ce serait bien si les réponses pouvaient aussi expliquer cela.

Voici trois des recherches les plus courtes:

$1$ . Existe-t-il un algorithme temporel linéaire pour les chemins les plus courts à source unique dans les graphes dirigés avec des pondérations non négatives, au moins dans le modèle de calcul mot-RAM? Notez qu'il existe un algorithme de temps linéaire pour les graphes non orientés (voir l'article de Thorup). Sur cette base, Hagerup a un temps d’exécution de pour les graphes dirigés dont les poids sont limités par . Y a-t-il un algorithme plus rapide?$O(n+m\log w)$$2^w$

$2$ . Existe-t-il un algorithme polylog pour tous les chemins les plus courts des paires dans les graphes orientés non pondérés? ( est l'exposant de la multiplication de matrice) Le meilleur temps d'exécution actuel est de Zwick. Pour les graphes non orientés, le problème peut être résolu en polylog .$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(Les problèmes dirigés sont-ils réellement plus difficiles?)

$3$ . Existe-t-il un algorithme pour toutes les paires de chemins les plus courts dans les graphes à nœuds avec des pondérations dans { }? Ou bien y at-il une réduction du problème général des chemins les plus courts de paires à cette restriction?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Ceci est déjà mentionné dans la question:

Ouvert:

Séparez de ( circuits de profondeur 2). $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(voir la mise à jour ci-dessous)

[Nov. 11, 2010] Séparer de . Séparez de .$EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

Connu:

1. [Alexander Razborov 1987 - Roman Smolensky 1987] n'est pas dans si est un nombre premier et n'est pas une puissance de .$MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay et Avi Wigderson 2009] Soit m, q des entiers co-premiers tels que m soit sans carrés et possède au plus deux facteurs premiers. Soit C tout circuit de type où est une porte ou et les portes à la base ont des ensembles acceptants arbitraires. Si C calcule alors la fan-in du haut, et donc la taille du circuit, doit être .$MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

Ce dernier résultat est basé sur l’obtention d’une borne de corrélation exponentiellement faible de la fonction avec des sous- de profondeur 2 et sur l’estimation des sommes exponentielles impliquant des polynômes de faible degré.$MOD_q$

Obstacles: ?

Mise à jour [nov. 10 décembre 2010]

Un article de Ryan Williams semble avoir réglé ce problème ouvert en utilisant des méthodes qui semblent être fondamentalement différentes de celles mentionnées ci-dessus:

[Ryan Williams 2010] n'a pas de circuits non uniformes de taille .$E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

Références:

• AA Razborov. Limites inférieures de la taille des réseaux de profondeur délimités sur une base complète avec ajout logique (russe), in Matematicheskie Zametki, 41 (4): 598–607, 1987. Traduction anglaise en notes mathématiques de l'Académie des sciences de l'URSS, 41 (4): 333 à 338, 1987.

• R. Smolensky. Méthodes algébriques dans la théorie des limites inférieures pour la complexité des circuits booléens. Dans STOC, pages 77–82. ACM, 1987.

• Arkadev Chattopadhyay et Avi Wigderson. Systèmes linéaires sur modules composites , FOCS 2009

• Ryan Williams. Limites inférieures des circuits de l'ACC non uniformes , 2010, brouillon (soumis?).

Soit CNF-SAT le problème de déterminer si une formule donnée de CNF est satisfaisable (aucune restriction sur la largeur des clauses).

CNF-SAT peut-il résoudre variables et clauses en temps, pour certains ?$n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

C'est un problème ouvert bien connu dans le domaine des "algorithmes plus rapides pour NP". Je ne pense pas que cela ait atteint le statut de "problème ouvert majeur", mais cela a beaucoup attiré l'attention. Les meilleurs algorithmes connus fonctionnent en temps (par exemple, ici ).$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

En relation avec l'hypothèse du temps exponentiel (que 3SAT n'est pas dans le temps sous-exponentiel), il existe également une "hypothèse du temps exponentiel fort" selon laquelle le temps d'exécution optimal pour SAT converge vers sous la forme . L'une des conséquences de Strong-ETH serait que la réponse à la question ci-dessus est non. Plusieurs hypothèses plausibles impliquent que la réponse est oui , mais qui sait.$k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

Je pense que c'est l'un de ces problèmes qui semblent susceptibles d'être "résolus" d'une manière ou d'une autre: soit nous montrerons une réponse affirmative, soit nous montrerons qu'une réponse affirmative implique quelque chose de très important. Dans le premier cas, nous aurons la satisfaction de résoudre le problème, dans le second, nous aurons élevé la question à celle d'un "problème majeur en suspens" ... une non-réponse implique , et une réponse affirmative implique quelque chose de très important. :)$P \neq NP$

La question de savoir si les arbres de décision peuvent être appris par PAC semble être à la frontière de la théorie de l’apprentissage informatique.

OUVERT

Les arbres de décision (PAC) peuvent-ils être appris sous la distribution uniforme sur les exemples (ou en général)?

CONNU

• Les DT ne peuvent pas être appris avec la distribution uniforme avec les requêtes statistiques (SQ) [ Blum et al. '94 ]
• On peut apprendre les DT aléatoires sous la distribution uniforme [ Jackson, Servedio '05 ]
• On peut apprendre les DT monotones sous la distribution uniforme [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• une analyse lissée pour l'apprentissage des DT sous la distribution uniforme [ Kalai, Teng '08 ]

La raison pour laquelle il s'agit d'un problème intéressant et important est que les arbres de décision sont une classe très naturelle et, contrairement aux automates, par exemple, nous n'avons pas de résultats de dureté cryptographique qui rendent le problème sans espoir. Les progrès sur cette question peuvent peut-être permettre de savoir si les DT (et des classes similaires) peuvent être appris sans hypothèses de distribution. Cela pourrait avoir un impact pratique en plus d'être une avancée théorique.

Ce problème semble également avoir été abordé de tous les côtés. Nous savons que sous la distribution uniforme dans les exemples: les arbres de décision monotones sont apprenables, que les arbres de décision aléatoires sont apprenables et qu'il existe également une analyse lissée. Nous savons également qu'un algorithme SQ ne résoudra pas ce problème. Et il y a aussi des progrès constants dans ce domaine. D'un autre côté, il s'agit d'un problème difficile qui est ouvert depuis un certain temps. Cela semble donc correspondre au projet de "Problèmes ouverts aux frontières du SDC".

Notez qu'il y a d'autres résultats que je n'ai pas expliqués sur la dureté des DT d' apprentissage appropriées , sur la capacité d' apprendre des DT avec des requêtes et sur la dureté d'apprendre même des DT aléatoires avec des LP.

OUVERT:

Affiche une limite inférieure dans le modèle de sonde de cellule pour un problème explicite de structures de données statiques, ce qui prouve que, dans le cas d'une restriction d'espace "raisonnable" (par exemple, si l'espace est polynomial dans la taille de l'entrée), le temps d'interrogation doit être à moins T, où T est plus grand que log | Q |, où Q est l'ensemble des requêtes. C'est ce qu'on appelle la "barrière | log | Q |" (ou parfois, de façon quelque peu mal nommée, la "barrière de connexion").

CONNU:

1. bornes inférieures supérieures à log | Q | pour un problème implicite (voir l'enquête de Miltersen )

2. bornes inférieures supérieures à log | Q | avec des restrictions d'espace extrêmes (par exemple limites inférieures succinctes)

3. bornes inférieures supérieures à log | Q | pour les problèmes dynamiques (où je veux dire que si le temps de mise à jour est très petit, le temps d'interrogation doit être très grand, ou inversement; voir par exemple la limite inférieure de Patrascu pour la somme partielle)

4. Limites inférieures dans les modèles restreints, tels que les machines à pointeur, le modèle de comparaison, etc.

5. bornes inférieures qui cassent le journal | Q | La barrière ne peut pas être prouvée par le type standard de réduction de la complexité de la communication, car Alice peut simplement envoyer la requête elle-même, qui ne prend que log | Q | bits, et il est donc facile de vérifier que la réduction ne donnera jamais une meilleure limite inférieure à celle-ci. Ainsi, il faut soit utiliser un modèle "natif" lié au modèle de sonde cellulaire, soit utiliser une réduction plus intelligente de la complexité de la communication.

Dans les classes de complexité de bas niveau, il y a un problème intéressant concernant la caractérisation de .$\mathsf{NL}$

OUVERT:

Montrer que est égal à .$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

$\mathsf{UL}$ , l' espace de journal non ambigu , est la classe de problèmes pouvant être résolus par une avec la contrainte supplémentaire qu'il existe au plus un chemin de calcul acceptant.$\mathsf{NL}$

CONNU:

• Dans des circonstances non uniformes , . [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• Sous des hypothèses de dureté plausibles ( nécessite des circuits de taille exponentielle), le résultat de [RA00] peut être dérandonné pour indiquer que . [ARZ99]$\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• L'accessibilité sur les graphiques de 3 pages est terminée pour . [PTV10]$\mathsf{NL}$
• L'atteignabilité sur les graphiques de 2 pages peut être résolue pour . [BTV09]$\mathsf{UL}$
• Si , alors . [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

INCONNU:

• Une classe intermédiaire , qui est définie comme être résolue par une avec au plus un grand nombre de chemins de calcul acceptants, se situe entre et . Aucun effondrement n'est connu.$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• On sait que par le célèbre théorème d'Immerman-Szelepcsényi, bien que le fait que soit fermé sous complément soit toujours ouvert.$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Certains problèmes ouverts du PCP:

• La conjecture d'échelle coulissante. En PCP, nous voulons que l'erreur du vérificateur soit aussi petite que possible. BGLR a supposé que l'erreur pouvait aller jusqu'à où est le caractère aléatoire (il existe clairement une limite inférieure de ). Le prix que vous payez pour réduire l'erreur ne fait qu'accroître l'alphabet de manière appropriée.$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

Plus formellement: la conjecture est qu'il existe ac, tel que pour tout r naturel, pour tout , il existe un vérificateur PCP qui utilise r le hasard pour faire deux requêtes à sa preuve, a parfait erreur d’intégralité et de justesse . L’alphabet de la preuve ne dépend que de .$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Pour deux requêtes, l'erreur la plus connue est pour certains spécifiques (M-Raz, 2008). On peut également obtenir l’erreur pour tout , avec un nombre de requêtes dépendant de (DFKRS).$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

Les limites inférieures sur c (c'est-à-dire des algorithmes d'approximation) sont également recherchées.

Voir l'enquête de Irit Dinur pour plus de détails.

• Longueur linéaire PCP. Il existe des codes de correction d'erreur de distance élevée avec une longueur linéaire. Existe-t-il un PCP de longueur linéaire?

Plus précisément, nous voulons un vérificateur de la vérifiabilité de la formule SAT comportant un nombre constant de requêtes, un alphabet constant et une erreur constante, et donnant accès à une preuve de longueur linéaire dans la longueur de la formule? Ceci est ouvert même pour les erreurs proches de 1 (mais meilleures que le trivial ), l’alphabet sous-exponentiel et le nombre sous-linéaire de requêtes.$1-1/n$

La meilleure longueur connue est pour une erreur constante et pour une erreur sous-constante.$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Montrer que pour tout , il existe un langage dans qui n'a pas de circuits (non uniformes) avec des fils . Rappelons que . C’est-à-dire prouver la limite inférieure du circuit superlinéaire pour un temps exponentiel avec accès à un oracle .$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

A - le code décodable localement (LDC) est une carte telle qu'il existe un algorithme , appelé décodeur local , qui donne comme entrée un entier et un mot reçu différent de pour certains au plus fraction de positions, recherche au plus coordonnées de et génère avec une probabilité d'au moins . Le LDC est dit linéaire si$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$est un champ et est -linear. Les PMA ont, entre autres, de nombreuses applications dans la théorie de la complexité et la protection de la vie privée.$C$$\mathbb{F}$

Pour et constante , la situation est complètement résolue. Le code Hadamard est un LDC linéaire à interrogations avec , ce qui est connu pour être essentiellement optimal, même pour les LDC non linéaires. Mais ici, est la frontière! Dès que nous obtenons , il y a un énorme fossé entre les limites supérieure et inférieure connues. La meilleure limite supérieure actuelle est un LDC linéaire à requêtes sur tout champ fini (et même les réels et complexes) avec une complexité de requête [ Efremenko '09 , Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ]. La meilleure limite inférieure est$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$ pour les PMA linéaires à interrogations sur n'importe quel champ et pour les PMA généraux à interrogations [ Woodruff '10 ]. La situation pour un plus grand nombre de requêtes est encore plus grave.$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Quel est le plus grand écart possible entre les complexités d'interrogation quantiques déterministes et (d'erreur à deux côtés) pour les fonctions totales?

Ouvert:

Existe-t-il une fonction totale dont la complexité de la requête quantique est T et la complexité de la requête déterministe est (T ² )?

Existe-t-il une fonction totale dont la complexité de la requête quantique est T et la complexité de la requête déterministe est (T ⁴ )?

Si une fonction totale peut être calculée à l'aide de requêtes T à l'aide d'un algorithme quantique, peut-elle toujours être calculée à l'aide de requêtes aide d'un algorithme déterministe?$o(T^6)$

Connu:

Si la complexité de requête quantique d'une fonction totale est T, sa complexité de requête déterministe est . (Référence)$O(T^6)$

Le plus grand écart connu est obtenu par la fonction OU, qui permet d'obtenir un écart quadratique.

Mise à jour (21 juin 2015) : Nous connaissons maintenant une fonction qui réalise une séparation quartique (4ème puissance). Voir http://arxiv.org/abs/1506.04719 .

On suppose que la fonction OU réalise le plus grand écart possible.

Selon la suggestion d'Ashley, permettez-moi d'ajouter le même problème pour un calcul exact.

Ouvert:

Existe-t-il une fonction totale dont la complexité exacte de la requête quantique est T et dont la complexité déterministe de la requête est ?$\omega(T)$

Connu:

Si la complexité de requête quantique exacte d'une fonction totale est T, sa complexité de requête déterministe est . (Référence)$O(T^3)$

Le meilleur écart connu est un facteur de 2.

Mise à jour (5 novembre 2012) : ceci a été amélioré dans l' avantage Superlinear pour les algorithmes quantiques exacts par Andris Ambainis . De l’abstrait: "Nous présentons le premier exemple d’une fonction booléenne f (x_1, ..., x_N) pour laquelle les algorithmes quantiques exacts ont un avantage superlinéaire par rapport aux algorithmes déterministes. Tout algorithme déterministe qui calcule notre fonction doit utiliser N requêtes mais une algorithme quantique exact peut le calculer avec des requêtes O (N ^ {0.8675 ...}). "

Il y a un certain nombre de problèmes en suspens dans la complexité des preuves, je n'en mentionnerai qu'un qui reste ouvert même après que des experts ont passé des années à essayer de le résoudre. C'est la version de complexité de preuve de l'état dans la complexité de circuit. (Voir [Segerlind07] si vous voulez voir plus de problèmes ouverts dans la complexité de la preuve.)

Ouvert

Prouvez les limites inférieures de la taille de la preuve superpolynomiale pour le système de preuve -Frege.$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (ou d-Frege + ) est le système de preuve de proposition qui n'autorise que les circuits ( avec gates).$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

Connu

1. Il existe des tailles de preuve exponentielles à la limite inférieure pour -Fgege (aussi appelée profondeur constante de Frege, d-Frege) pour (formulation propositionnelle du principe de Pigeon-Hole avec pigeons et des trous). Il existe également des limites inférieures exponentielles pour -Frege + ( constante de Frege avec comptage des axiomes ). On sait également que -Frege + ne sont pas liés par des polynômes.$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. Il existe des limites basses de taille de circuit exponentielle pour la classe de circuit correspondante, à savoir .$AC^0[2]$

Références:

• Nathan Segerlind, "La complexité des preuves propositionnelles", Bulletin of Symbolic Logic 13 (4), 2007

Ouvert:

Montrer une séparation oracle entre QIP (2) et AM. C'est, montrer un problème dans QIP (2) ^A qui ne sont pas en AM ^A .

Le gros problème qui se pose est de montrer une séparation oracle entre BQP et PH. Mais nous n'avons même pas de séparation entre BQP et AM (puisque AM est dans PH, cela devrait être plus facile). Pire encore, augmentez considérablement la puissance du BQP en autorisant des interactions à un tour avec Merlin, en vous donnant la classe QAM ou QIP (2) (selon les pièces publiques ou privées) et nous n’avons toujours pas de séparation.

Connu:

La séparation la plus connue est celle entre BQP et MA, qui provient de cet article de John Watrous . Pour les classes de complexité qui ne sont pas des classes de problèmes de décision, voir les résultats de Scott Aaronson .

Je ne suis pas sûr que cela appartienne à la classe des problèmes ouverts frontaliers ou des problèmes ouverts majeurs, alors les commentaires sont les bienvenus.

Ouvert:

Montrer que implique que réduit ou non.$\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ (l' heure polynomiale non ambiguë ) est une classe définie comme des problèmes de décision décidés par une machine à NP avec une contrainte supplémentaire telle que

• il y a au plus un chemin de calcul acceptant sur toute entrée.

Ce problème a été signalé dans le blog Complexity en 2003.

Connu:

Un résultat de Hemaspaandra, Naik, Ogiwara et Selman montre que si la déclaration suivante est vérifiée, la hiérarchie polynomiale s'effondre au deuxième niveau.

• Il y a un langue telle que pour chaque formule dans SAT, il y a un unique , affectation satisfaisant avec en .$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

Inconnu:

Tout effondrement ou séparation peu probable.

Article connexe: Plus d'informations sur les classes syntaxiques vs sémantiques, et UP vs NP .