Propriétés globales des classes héréditaires?

Une classe héréditaire de structures (par exemple des graphiques) est une classe qui est fermée sous des sous-structures induites, ou de manière équivalente, est fermée sous suppression de vertex.

Les classes de graphiques qui excluent un mineur ont de belles propriétés qui ne dépendent pas du mineur exclu spécifique. Martin Grohe a montré que pour les classes de graphes excluant un mineur, il existe un algorithme polynomial pour l'isomorphisme, et une logique à virgule fixe avec comptage capture le temps polynomial pour ces classes de graphes. (Grohe, Définibilité à virgule fixe et temps polynomial sur les graphiques avec mineurs exclus , LICS, 2010.) Ces propriétés peuvent être considérées comme des propriétés «globales».

Existe-t-il des propriétés "globales" similaires connues pour les classes héréditaires (graphiques ou structures plus générales)?

Il serait bon de voir chaque réponse se concentrer sur une seule propriété spécifique.

Les propriétés héréditaires sont très "robustes" dans le sens suivant.

Noga Alon et Asaf Shapira ont montré que pour toute propriété héréditaire , si un graphe G a besoin d' ajouter ou de supprimer plus de ϵ n 2 arêtes pour satisfaire P , alors il y a un sous-graphe dans G , de taille au plus f P ( ε ) , qui ne satisfait pas P . Ici, la fonction f ne dépend que de la propriété P (et non de la taille du graphe G par exemple). Erdős n'avait fait une telle conjecture que sur la propriété de k- colorabilité.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

En effet, Alon et Shapira prouvent le fait plus fort suivant: étant donné , pour tout ϵ dans ( 0 , 1 ) , il y a N ( ϵ ) , h ( ϵ ) et δ ( ϵ ) tels que si un graphe G a au moins N sommets et nécessite au moins ϵ n 2 arêtes ajoutées / supprimées afin de satisfaire P , puis pour au moins δ fraction de sous-graphes induits sur h sommets, le sous-graphe induit viole${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . Ainsi, si ϵ et la propriété P sont fixes, afin de tester si un graphe d'entrée satisfait P ou est ϵ -loin de satisfaire P , alors il suffit d'interroger les bords d'un sous-graphe induit aléatoire de taille constante à partir du graphe et vérifier si elle satisfait la propriété ou non. Un tel testeur accepterait toujours des graphes satisfaisant P et rejetterait les graphes ϵ- loin de le satisfaire avec une probabilité constante. De plus, toute propriété testable unilatéralement dans ce sens est une propriété héréditaire! Voir l'article d'Alon et Shapira pour plus de détails.${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Ce n'est peut-être pas tout à fait ce que vous aviez en tête, mais il existe des restrictions connues sur le nombre de graphiques sur sommets qu'il peut y avoir dans une classe héréditaire de graphiques. Par exemple, il n'y a pas de classe héréditaire de graphiques qui a entre 2 Ω ( n ) et 2 o ( n log n ) graphiques sur n sommets.$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

Référence: E. Scheinerman, J. Zito, Sur la taille des classes héréditaires de graphiques, Journal of Combinatorial Theory Series B

Ceci est lié à la réponse de Travis. En fait, il pourrait être considéré comme une version plus puissante.

Un article de Bollob \ 'as ​​et Thomason (Combinatorica, 2000) montre que dans les graphes aléatoires Erd \ H {o} sR \' enyi (avec p une constante fixe), chaque propriété héréditaire peut être approximée par ce qu'elle appeler une propriété de base . De base signifie presque des graphes dont les ensembles de sommets sont des unions de r classes, dont s s'étendent sur des cliques et r - s qui couvrent des ensembles indépendants, mais pas tout à fait. Cette approximation est utilisée pour caractériser la taille d'un plus grand ensemble P ainsi que le nombre chromatique P de G n $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , où P est une propriété héréditaire fixe. Sippeut varier, le comportement n'est pas bien compris.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Pour plus d'informations sur ce travail et les travaux connexes, il y a une enquête de Bollob \ 'as (Actes de l'ICM 1998) qui donne également une conjecture alléchante dans ce sens, mais pour les hypergraphes.

Je trouve le lien profond entre les propriétés héréditaires et le lemme de régularité de Szem \ 'eredi très intrigant, car il a été utilisé ici et dans le résultat Alon et Shapira.

La réponse de Suresh à propos de la conjecture AKR m'a fait penser à la même conjecture pour les propriétés héréditaires. Je pense (sauf erreur) que je peux montrer que toutes les propriétés héréditaires non triviales ont une complexité d'arbre de décision (aléatoire et déterministe) , ce qui établit la conjecture AKR pour ces propriétés (jusqu'aux constantes).$\Theta(n^2)$

J'ai essayé de rechercher dans la littérature pour voir si cela a été montré quelque part, mais je n'ai pas pu trouver de référence. Donc, soit je ne l'ai pas trouvé mais il existe, soit le théorème est sans intérêt, soit j'ai fait une erreur.

Il s'agit donc d'un autre exemple de propriété globale de toutes les propriétés de graphe héréditaire.

$\Omega(n^c)$$c>0$

Il s'agit de la direction "inverse", mais la conjecture bien connue d' Aanderaa-Rosenberg-Karp s'applique aux propriétés de graphique qui sont monotones vers le haut (c'est-à-dire si G satisfait la propriété, alors tout graphique sur les mêmes nœuds dont l'ensemble de bords contient E (G )).