Existe-t-il des algorithmes temporels sous-exponentiels pour les problèmes NP-complets?

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Existe-t-il des problèmes NP-complets pour lesquels des algorithmes sous-exponentiels ont fait leurs preuves?

Je demande des informations générales sur les cas, je ne parle pas de cas particuliers traitables ici.

Par sub-exponentielle, j'entends un ordre de croissance supérieur aux polynômes, mais moins qu'exponentiel, par exemple . $n^{\log n}$

— ksb
source

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Qu'entendez-vous par "sub-exponentielle"? Si vous voulez dire

, la réponse est définitivement oui. Si vous voulez dire

, je pense que la réponse est non.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

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Cela dépend de ce que vous entendez par subexponential. Ci-dessous, j'explique quelques significations de "sous-exponentiel" et de ce qui se passe dans chaque cas. Chacune de ces classes est contenue dans les classes ci-dessous.

I. $2^{n^{o(1)}}$

Si vous entendez par subexpoential , alors une conjecture en théorie de la complexité appeléehypothèse de temps exponentiel (ETH)supposequ'aucunproblème-hard ne peut avoir un algorithme avec le temps d'exécution $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$ .

Notez que cette classe est fermée sous composition avec polynômes. Si nous avons un algorithme temporel sous-exponentiel pour tout $\mathsf{NP}$ problème de, nous pouvons combiner avec une réduction du temps polynomiale de SAT à lui obtenir un algorithme sousexponentiel pour 3SAT qui irait à l' encontre des EPF.

II. ,savoir pourtout $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

La situation est similaire à la précédente.

Il est fermé sous les polynômes de sorte qu'aucun problème hard ne peut être résolu à ce moment-là sans violer ETH. $\mathsf{NP}$

III. ,savoir pourcertain $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Si par sousexponentiel vous moyenne pour un certain alors la réponse est oui, il y a démontrable de tels problèmes. $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

Prendre un problème -complete comme SAT. Il a un algorithme de force brute qui court dans le temps . Considérons maintenant la version complétée de SAT en ajoutant une chaîne de taille aux entrées: $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S UNE T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ | φ \in S UNE T et | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

Maintenant, ce problème est dur et peut être résolu dans le temps $\mathsf{NP}$ . $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV $2^{o(n)}$

Cela contient la classe précédente, la réponse est similaire.

V. $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ , soit pour tout $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

Cela contient la classe précédente, la réponse est similaire.

VI. $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ , soit pour un certain $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

Cela contient la classe précédente, la réponse est similaire.

Que signifie subexponential?

"Au-dessus de polynôme" n'est pas une limite supérieure, mais une limite inférieure et est appelé superpolynôme .

Des fonctions comme s'appellent quasipolynomial $n^{\lg n}$ , et comme son nom l' indique sont presque polynomiale et loin d'être exponentielle, sousexponentiel est généralement utilisé pour désigner une classe beaucoup plus de fonctions avec des taux beaucoup plus rapide croissance.

Comme son nom l'indique, "subexponential" signifie plus lent que exponentiel . Par exponentielle, nous entendons généralement les fonctions de classe , ou de la classe plus agréable (fermée sous composition avec des polynômes). $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

Le sous-exponentiel devrait être proche de ceux-ci mais plus petit. Il y a différentes façons de le faire et il n'y a pas de signification standard. Nous pouvons remplacer par dans les deux définitions d’exponentielle et obtenir I et IV. La bonne chose à leur sujet est qu'ils sont uniformément définis (pas quantificateurs sur ). Nous pouvons remplacer avec un coefficient multiplicatif pour tout $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ , nous obtenons II et V. Leur sont proches de I et IV , mais non uniforme définis. La dernière option est de remplacer avec une constante multiplicatif pour une . Cela donne II et VI. $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

Lequel devrait être appelé subexponential est discutable. Les gens utilisent généralement celui dont ils ont besoin dans leur travail et le qualifient de subexponentiel.

I est ma préférence personnelle, c’est une belle classe: elle est fermée sous composition avec des polynômes et elle est définie uniformément. Il est similaire à qui utilise . $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

II semble être utilisé dans la définition de la classe de complexité . $\mathsf{SubExp}$

III est utilisé pour les limites supérieures algorithmiques, comme celles mentionnées dans la réponse de Pal.

IV est également commun.

V est utilisé pour énoncer la conjecture ETH.

$\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

Estival

$\mathsf{NP}$ problèmes durs au sens de III et nous ne pouvons les avoir au sens de I sans violer ETH.

— Kaveh
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Cette réponse devrait aller sur Wikipedia.

— Erel Segal-Halevi Le

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$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$ :

Commentaires sur les tournois [Noga Alon, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, ALP 2009]
Remplissage minimum et achèvement de la chaîne [Fomin and Villanger SODA 2012]
Suppression de bord divisé [Ghosh et al SWAT 2012]
$t$ clusters [Fomin et al STACS 2013]
Beaucoup de problèmes de bidimensionalité, différents problèmes de graphes sur les graphes de genre bornés et particulièrement de graphes plans (voir Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: algorithmes paramétrés sous-exponentiels sur des graphes de graphes de genre borné et sans mineur mineur )
Algorithme paramétré dans le temps sous-exponentiel pour l'arborescence de Steiner sur des graphes planaires [Pilipczuk et al STACS 2013]
Complètement parfait, le seuil et le pseudosplit [D. et al STACS 2014]
Achèvement de l'intervalle [Bliznets et al]
Achèvement correct des intervalles [Bliznets et al]

— Pål GD
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2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

Existe-t-il des algorithmes temporels sous-exponentiels pour les problèmes NP-complets?

I. 2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}}

II. ,savoir2 O ( n ε ) pourtout0<ε⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ε2O(nε)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nε)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ε0 < \epsilon

III. ,savoir2 O ( n ε ) pourcertainε<1⋃ε < 12O ( nε)⋃ε<12O(nε)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O ( nε)2O(nε)2^{O(n^\epsilon)} ε < 1ε<1\epsilon < 1

IV 2o ( n )2o(n)2^{o(n)}

V. ⋂0 < ε2ϵ n⋂0<ε2εn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n} , soit pour tout ε > 02ϵ n2εn2^{\epsilon n} ε > 0ε>0\epsilon>0

VI. ⋃ε < 12ϵ n⋃ε<12εn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n} , soit pour un certain ε < 12ϵ n2εn2^{\epsilon n} ε < 1ε<1\epsilon<1

Que signifie subexponential?

I. $2^{n^{o(1)}}$

II. ,savoir pourtout $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

III. ,savoir pourcertain $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV $2^{o(n)}$

V. $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ , soit pour tout $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

VI. $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ , soit pour un certain $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$