Carrelages uniques de carrés

Nous voulons carreler $m\times m$ -square en utilisant deux types de tuiles: $1 \times 1$ -square tile et $2 \times 2$ -square tile de sorte que chaque carré sous-jacent soit couvert sans se chevaucher. Définissons une fonction $f(n)$ qui donne la taille du plus grand carré uniquement cultivable en utilisant $n$ $1\times 1$ carrés et n'importe quel nombre de $2 \times 2$ carrés.

Cette fonction est-elle calculable? Quel est l'algorithme?

EDIT1: Sur la base de la réponse de Steven, le pavage unique signifie qu'il existe un moyen de placer les carrés $2 \times 2$ à l'intérieur du carré $m \times m$ avec une configuration unique pour les positions des carrés $n$ $1 \times 1$ à l'intérieur du $m \times m$ -carré.

Voici un argument pour prouver ma spéculation dans les commentaires qu'il n'existe aucun pavage unique de ce type pour tout non carré . Premièrement, comme l'a noté Sasho dans les commentaires, n doit être restreint, car aucun pavage de ce type n'existe si n ≡ 2 ou . Si est un carré parfait il est évident que le carré est carrémentable, donc est clairement défini et non nul dans ces cas. Pour compléter l'argument, il ne reste plus qu'à montrer qu'aucun pavage impliquant ou plusieurs tuiles ne peut être unique.$n\gt 5$$n$$n\equiv2$n n = k 2 k × k f ( n ) 1 2 × $3\pmod 4$$n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

Considérons d'abord le cas , disons . Si nous avons une mosaïque d'un carré utilisant tuiles, évidemment doit être pair, disons ; nous pouvons alors construire des pavages en construisant un pavage de tuiles et en remplaçant ensuite de ceux-ci par des "blocs" de quatre tuiles. Il est clair que des remplacements différents peuvent toujours conduire à des pavages distincts sauf dans les cas ou où il y a soit un seuln = 4 k m × m n 1 × 1 m m = 2 j j × j 2 × 2 k 1 × 1 m = 4 , n = 12 m = 4 , n = 4 2 × 2 2 × $n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$$m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$tuile ou un seul «bloc de quatre» restant; dans ces cas, cependant, il existe un pavage différent et équivalent, celui qui place une tuile au milieu d'un bord plutôt que dans un coin.$2\times 2$

Enfin, supposons , en particulier supposons (et avec pour éviter un cas légèrement trivial où il n'y a tout simplement pas assez de place dans le carré pour que l'argument suivant passe ). Ensuite, aucun carré de taille ou moins ne peut être carrelé de manière unique: envisagez un carrelage avec tuiles en haut du carré et en bas à droite du carré (avec tout tuiles supplémentaires juste niché sur le côté droit - ils ne peuvent pas affecter l'argument). Maintenant, le "bloc" dans le coin supérieur gauche du carré (composé des deux tuiles en haut et desn = 4 t + 1 t > 1 ( 2 t + 1 ) 2 1 × 1 1 × 1 2 × 3 1 × 1 2 × 2 ( 2 t + 1 ) 2 ( 2 s + 1 ) 2 s > t s 2 2 × 2 ( 2 s + 1 $n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$tuile en dessous) peut être «retourné» pour produire un carrelage qui sera nécessairement différent du carrelage que nous avons construit. Enfin, aucun carré de taille supérieure à ne peut être carrelé du tout: supposons que nous essayons de carreler un carré de taille pour ; alors par le principe du pigeonhole nous ne pouvons pas placer plus de tuiles sur le carré, ce qui signifie qu'il y a carrés restants - mais puisque , , le nombre de tuiles dont nous disposons.$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$s > t 4 s + 1 > 4 t + 1 = n 1 × $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

Ainsi, les seuls pavages uniques qui existent pour sont ceux qui n'utilisent pas du tout carreaux, et n'est différent de zéro que lorsque est un carré (auquel cas il est égal à ).2 × 2 f ( n ) n $n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$