Problème NP-complet avec un nombre polynomial d'instances oui?

J'ai l'impression que pour chaque problème NP-complet, pour une infinité de tailles d'entrée , le nombre d'instances oui sur toutes les entrées possibles de taille n est (au moins) exponentiel en n .$n$$n$$n$

Est-ce vrai? Peut-il être prouvé (probablement uniquement en supposant que )? Ou pouvons-nous, peut-être artificiellement, trouver un problème où pour tout (assez grand) n , le nombre d'instances de oui est tout au plus polynomial dans n ?$P\neq NP$$n$$n$

Mon raisonnement est essentiellement que, étant donné une instance de oui pour 3-SAT, nous pouvons identifier le littéral dans chaque clause qui le rend vrai et remplacer une autre variable dans la clause par une autre variable, sans changer que c'est satisfaisable. Puisque nous pourrions le faire avec chaque clause, cela conduit à un nombre exponentiel de oui-instances. Il en va de même pour de nombreux autres problèmes tels que le chemin hamiltonien: nous pouvons changer librement les bords qui ne sont pas sur le chemin. Je raisonne alors vaguement que puisque la réductibilité est impliquée là où d'une manière ou d'une autre des solutions doivent être conservées, elle doit tenir pour tous les problèmes NP-complets.

Il semble également être valable pour le problème peut-être NP-intermédiaire de l'isomorphisme des graphes (où nous pouvons appliquer librement les mêmes changements aux deux graphes si nous connaissons la cartographie). Je me demande si cela vaut également pour la factorisation entière.

Un langage avec seulement plusieurs instances oui polynomiales est appelé clairsemé . Le théorème de Mahaney déclare que si un langage NP-complet est rare, alors P = NP. Comme la plupart des gens s'attendent à ce que P NP, il semble peu probable qu'il existe un langage NP-complet avec seulement de nombreuses instances oui polynomiales.$\ne$

C'est une question distincte de savoir si le nombre d'instances de oui est exponentiel. (On pourrait imaginer que le nombre d'instances de oui pourrait être plus que polynomial mais moins exponentiel.) La conjecture de Berman-Hartmanis est pertinente ici; cela implique que tous les problèmes NP-complets ont exponentiellement de nombreuses instances de oui. La conjecture reste un problème ouvert.