Si tout le monde croit P ≠ NP, pourquoi tout le monde est-il sceptique quant aux tentatives de preuve de P P NP?

55

Beaucoup semblent croire que , mais beaucoup pensent aussi qu'il est très improbable que cela soit prouvé. N'y a-t-il pas une certaine incohérence à cela? Si vous estimez qu'une telle preuve est improbable, vous devez également croire que les arguments solides en faveur de font défaut. Ou bien existe-t-il de bons arguments en faveur de l’ improbabilité de , dans le même sens, de l’hypothèse de Riemann qui tient pour de grands nombres, ou de la limite inférieure très élevée du nombre de nombres premiers existants séparés par une faible distance, à savoir. la conjecture Twin Prime? $P\ne NP$ $P\ne NP$ $P\ne NP$

complexity-theory p-vs-np

— Pafnuti
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61

Parce que les voeux pieux ne prouvent rien. Et parce que ce n'est pas tout le monde. Et parce que "croire" ne suffit pas pour la plupart des gens qui pensent mathématiquement.

— Raphaël

26

"Pourquoi tout le monde est-il sceptique face aux tentatives de preuves?"

— Tom van der Zanden

95

Je crois en l'existence du président du Nigeria et du fait qu'il est parfois confronté à des problèmes liés au changement de devise. Pourtant, je suis sceptique quant aux courriels que je reçois qui prétendent me demander de l'aide pour résoudre ces problèmes.

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

3

à ce stade, le problème est ouvert depuis presque un demi-siècle et il y a une récompense non réclamée d'un million de dollars depuis plus de quinze ans (Claymath). le problème est donc probablement aussi difficile et / ou au moins aussi difficile que des problèmes épiques comme ceux que vous mentionnez (nombres premiers de Riemann / Twin). Riemann est non résolu depuis environ 1½ siècle et les nombres premiers jumeaux ne sont toujours pas résolus après ~ 2millenia. En d'autres termes, le consensus général / la sagesse conventionnelle est qu'il "semble être vrai" mais pour "des raisons qui vont au-delà de la compréhension humaine actuelle / des techniques / connaissances mathématiques existantes". la plupart des scientifiques croient cependant qu'il sera finalement résolu ...

— vzn

3

On dirait que tout le monde a cherché à justifier les bonnes raisons d'être sceptique face à de nouvelles tentatives de preuves ... mais personne n'a vraiment abordé ce que je pensais être la question centrale des PO: pourquoi / comment sommes-nous si confiants que quelque chose qui semble impossible à prouver est toujours vrai? ? en tant que profane idiot, il me semble analogue d’être plus difficile à prouver qu’une chose n’existe pas (si vous avez la chose, alors celle-ci est facile, mais pour les premiers, vous ne saurez jamais vraiment si n'existe pas ou vous ne l'avez pas encore trouvé)

— Anentropic

93

Les gens sont sceptiques parce que:

Aucune preuve n'a été fournie par un expert sans avoir été annulée peu de temps après.
Tant d’efforts ont été consentis pour trouver une preuve, sans succès, qu’il est supposé qu’une d’entre elles sera soit considérablement compliquée, soit qu’elle inventera de nouvelles mathématiques pour la preuve.
Les "preuves" qui se présentent ne parviennent souvent pas à résoudre les problèmes connus. Par exemple, beaucoup prétendent que 3SAT n'est pas dans P, tout en fournissant un argument qui s'applique également à 2SAT.

Pour être clair, le scepticisme concerne les preuves, pas le résultat lui-même.

— jmite
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16

Un point important est que de larges classes de techniques de preuve se sont avérées insuffisantes. Voir Wikipedia modifier: également mentionné dans la réponse de Evil

— JollyJoker

4

Une autre raison qui me semble importante est la gravité de la situation si la réponse est fausse. Si l’on suppose que P ≠ NP s’avère faux, il existe des infrastructures et des transactions d’une valeur de plusieurs milliards de dollars qui sont principalement protégées par la nature présumée d’une attaque de leur cryptographie sur NP.

— Cort Ammon

14

@CortAmmon Mais découvrir des algorithmes déterministes à ces problèmes ne ferait probablement aucune différence pratique.

Θ (n^{100})

$\Theta(n^{100})$

— David Richerby

@DavidRicherby - en revanche, au moins avec la rupture des algorithmes cryptographiques, la complexité diminue souvent considérablement avec le temps.

— TLW

@TLW Désolé, j'étais imprécis. Je voulais dire que la cryptographie aurait peu d'incidence sur la cryptographie si nous découvrions que les problèmes de NP ont des algorithmes à temps polynomiaux mais que chacun de ces algorithmes a le temps d'exécution . Dans ce cas, il n'y a aucune possibilité d'amélioration.

Ω (n^{100})

$\Omega(n^{100})$

— David Richerby

43

Les croyances sont orthogonales aux preuves. La croyance peut diriger les tentatives de solutions par les chercheurs ou plutôt leur principal intérêt, mais cela ne les empêche pas pour autant de vérifier une preuve.

Le problème avec que de nombreuses méthodes standard de tentative de preuve sont déjà exclues, n’est pas suffisant pour déduire quoi que ce soit, voir ici pour plus de détails. $P \ne NP$

Il n’ya pas d’incohérence dans les sondages rassemblés de suspicions et de conjectures éclairées. De plus, la conviction que quelque chose ne sera pas prouvé n’a aucun sens, sans preuve d’irréversibilité.

Les années de tentatives, de réclamations et de méthodes rejetées rendent les gens sceptiques.

Veuillez consulter les documents précédents qui ont tenté de contribuer à la résolution.

"Les demandes extraordinaires exigent des preuves extraordinaires."

Cela caractérise assez précisément le scepticisme.

— Mal
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7

Eh bien, pas orthogonal . Il est clair que le fait de prouver que la vérité est vraie est en corrélation avec le fait d’être cru.

— Accumulation

2

Votre citation surlignée ne dit-elle pas ce que la question initiale pose? C'est-à-dire que si l'affirmation P ≠ NP est si largement reconnue et acceptée, alors pourquoi est-ce une réclamation extraordinaire, ne devrait-il pas s'agir d'une réclamation ordinaire? Je suppose que c’est comme vous le dites, la prétention extraordinaire n’est pas que P ≠ NP mais une preuve ait été trouvée. Et ce serait extraordinaire juste sur la base de l'historique des tentatives de preuves. Je ne sais pas ce que je veux dire, à part le fait que vous avez mis l'accent sur cette citation était intéressante. :)

— Jack Casey

3

Si vous utilisez «orthogonal» pour signifier autre chose que «non corrélé», alors je pense que vous l'utilisez d'une manière non standard.

— Accumulation

1

J'utilise le mot "orthogonal" de la manière la plus standard et la plus compilante cs / math / dsp et je ne suis pas d'accord avec la corrélation, étant donné le MO standard, et même donné conterexample. Ce n'est pas corrélé du point de vue scientifique, mais c'est de l'heuristique comportementale, qui ne devrait pas être mélangé.

— Mal

1

@ JackCasey, la réclamation est extraordinaire car elle n'a pas été prouvée, par rapport à des milliers d'autres réclamations prouvées. Peu importe que tout le monde "croit" ainsi.

— Arturo Torres Sánchez Le

22

Quelques raisons, certaines génériques et certaines spécifiques.

La raison générique est qu’il s’agit d’un problème connu de longue date que de nombreuses personnes intelligentes ont essayé de résoudre et que beaucoup d’entre elles se sont trompées. Les chances qu'une nouvelle preuve soit valide sont extrêmement faibles sur la base de cet historique.

Dans ce cas particulier , il y a eu des recherches sur les preuves qui ne fonctionnent pas . Il a été démontré que pratiquement toutes les techniques de preuve connues pour prouver des choses en informatique ne peuvent pas prouver P! = NP .

Wikipédia couvre cela et indique comment "les preuves relativisantes" (des preuves fonctionnant quels que soient les oracles auxquels votre MT a accès), les "preuves naturelles" (impliquant des limites inférieures de circuit) et l "'arithmétisation" sont toutes deux insuffisantes pour distinguer P et NP. (montrez-les égaux ou différents), ou une telle preuve serait un résultat ridiculement plus puissant.

En bref, non seulement de nombreuses personnes intelligentes ont travaillé dans ce domaine depuis longtemps et ont échoué, mais elles ont également prouvé que des familles entières de preuves ne pouvaient pas être utilisées pour résoudre ce problème. Ainsi, lorsque quelqu'un trouve P! = NP, il y a un scepticisme naturel, suivi par la constatation qu'une des nombreuses preuves de ces preuves est violée et qu'il n'est plus nécessaire de vérifier le reste du résultat.

— Yakk
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Je me demande s’il est effectivement vrai que de nombreuses personnes intelligentes ont essayé de prouver P NP ou si elles se sont concentrées sur quelque chose de réalisable, comme montrer que certaines techniques de preuve connues ne fonctionnent pas.

— gnasher729

3

@gnasher Lire wikipedia. Ces preuves "cette technique ne peut pas fonctionner" découlaient de tentatives d' utilisation de ces techniques pour prouver P? = NP. N'importe qui trouve une preuve non relitivante de tout ce qui, dans CS, ne relève pas des autres techniques de preuve exclues, vous pariez que les gens vont l'essayer.

— Yakk

La limite inférieure de l’ACC0 de Ryan Williams évite apparemment toutes les barrières connues (si elles existent pour les circuits ACC0).

— Lwins

7

Les gens ne croient pas aux "preuves" à cause de la difficulté perçue.

Disons que nous rencontrons des extraterrestres qui sont meilleurs en maths que les humains. Leur écolier moyen est à peu près aussi bon en maths que nos plus grands mathématiciens. Pas un écolier intelligent, mais un écolier moyen.

Ils ont prouvé l'hypothèse de Riemann, le théorème Twin Prime et la première conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi que l'hypothèse de Goldbach. Que pensent-ils de prouver que le problème du voyageur de commerce peut être résolu en temps polynomial? Ils trouveront peu probable que quiconque puisse résoudre ce problème. Que pensent-ils de prouver que le problème du voyageur de commerce ne peut être résolu en temps polynomial? Je pense qu'ils trouveront encore moins probable que quelqu'un puisse trouver une preuve.

C'est juste mon avis, mais si quelqu'un dit qu'il a une preuve pour P = NP ou P ≠ NP, je ne le croirai pas.

PS L'hypothèse de Riemann est ouverte depuis plus longtemps car c'est un problème mathématique classique qui avait du sens pour les mathématiciens il y a 100 ans. P ≠ NP est l’informatique, quelque chose de beaucoup plus récent, et autant que je sache, la notion de NP ne date que des années 1970. L'hypothèse de Riemann a progressé (nous ne pouvons pas prouver "tous les zéros yada yada" mais au moins "une grande partie de tous les zéros yada yada"), contrairement à P ≠ NP. C'est unidimensionnel. Il s'agit des zéros d'une seule fonction. P ≠ NP concerne tous les algorithmes possibles pour résoudre un problème.

— gnasher729
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7

Pourquoi pensez-vous que résoudre P vs NP est plus difficile que l'hypothèse de Riemann? Ce dernier est ouvert depuis beaucoup plus longtemps.

— Yuval Filmus

4

Je ne crois pas qu'il soit utile de spéculer sur ce que des extraterrestres plus intelligents que nous pourraient considérer comme des opinions non factuelles .

— Matthew Lu

1

Il n'y a pas de corrélation entre la difficulté et l'âge des problèmes mathématiques. Il n'y a pas de solution unique à un problème mathématique. La difficulté dépend de la perspective. Il peut y avoir des solutions simples à P = NP ainsi que des solutions complexes, identiques à l'hypothèse de Riemann et à toute autre conjecture. Enfin, dire que RH correspond aux zéros d'une fonction et qu'il n'est donc pas si difficile n'est pas valide. Beaucoup de problèmes mathématiques difficiles peuvent être reformulés comme des zéros d'une fonction.

— Glen Wheeler

1

@GlenWheeler Comment définissez-vous la difficulté sans dire que les gens travaillent dur pour la résoudre, ce qui suppose nécessairement depuis combien de temps le problème est disponible?

— Djechlin

La difficulté est un concept problématique. Au lieu d'utiliser ce langage mal défini, parlez plutôt de ce que vous voulez réellement dire, par exemple qu'il existe depuis X ans, dont Y est l'un des fameux «problèmes à un million de dollars». C'est déjà une indication de ce que vous voulez conclure, le détour par ce concept de "difficulté" est donc totalement inutile.

— Glen Wheeler

7

La raison pour laquelle les gens sont sceptiques quant aux tentatives de preuves de P! = NP est la même que les gens sceptiques quant aux preuves de toute conjecture connue: de fausses preuves sont publiées tous les quelques mois et abattues. En dépit de cela (voir par exemple la conjecture de Poincaré ou le dernier théorème de Fermat), ces preuves reposent souvent sur une connaissance approfondie des efforts déployés à grande échelle par des groupes de des mathématiciens (comme le flux de Ricci de Hamilton pour la conjecture de poincare ou la conjecture de Taniyama – Shimura – Weil pour le dernier théorème de Fermat) même si les étapes finales ont été effectuées par un seul théoricien.

P vs NP est un problème particulièrement épineux parce que toutes les méthodes "évidentes" ont non seulement échoué à fournir une preuve, mais se sont avérées inutiles avec des théorèmes forts. Les prouveurs débutants pensent très probablement avoir trébuché sur une preuve, mais sont tombés dans l'un de ces pièges bien connus. Remarquablement, la principale avancée dans ce domaine est de démontrer que plusieurs manières de prouver que P! = NP ne fonctionne pas. Il est quelque peu scandaleux que nous ne puissions même pas montrer que 3Sat n'est pas un temps linéaire décidable, encore moins en dehors du temps polynomial!

Je dirais que très peu de personnes pensent que cela ne sera jamais prouvé. En effet, l'affirmation P! = NP est un obstacle tellement fondamental dans notre compréhension de la complexité de calcul qu'il est difficile de ne pas penser que cela est vrai pour une raison simple et élégante.

Cependant, si on veut être cynique, P! = NP est équivalent à l'affirmation suivante: ce n'est pas parce qu'une preuve est facile (c'est-à-dire courte) que la recherche de la preuve n'est pas très difficile (c'est-à-dire qu'il faut un temps de recherche super-polynomial ). En effet, la plupart des théories estiment qu’il n’existe pas d’ algorithme temporel sous- exponentiel pour trouver des preuves suggérant que, dans le cas d’une méthode de recherche d’épreuves quelconque (pensée mathématicienne ou recherche sur ordinateur), il existe de nombreux théorèmes avec des preuves simples et extrêmement difficiles à cerner. trouver (potentiellement millénaires de temps de recherche). On ne sait pas si P! = NP est un tel théorème!

Cela dit, quelqu'un pourrait publier la preuve demain.

— olympicmarmot
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4

Parce que vous pourriez penser que c'est indécidable, et peut-être même indécidable que ce soit indécidable. Beaucoup de théorèmes mathématiques sont comme ça.

— Niklas Rosencrantz
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Discuter de la décidabilité de P vs NP est une erreur de catégorie. La décidabilité est une propriété des problèmes de calcul; P vs NP n'est pas un problème de calcul: c'est quelque chose qui est soit vrai soit faux (ou éventuellement non démontable). L'analogie la plus proche est que "Is P = NP?" est une instance unique d'un autre problème.

— David Richerby

2

De plus, {"Is = P? NP?"} Est décidément trivial, comme cela a été discuté auparavant sur le site.

— Raphaël

5

Vous êtes un peu rapides pour voter à mon humble avis. J'imagine qu'il se réfère au fait que l'hypothèse pourrait être indépendante de, par exemple, ZFC, que l'on appelle parfois indécidable ( en.wikipedia.org/wiki/Independence_(mathematical_logic) ).

— DFF

4

@ David a explicitement défini le contexte dans "théorèmes mathématiques". Dans ce contexte, l'une des deux interprétations possibles du terme est absurde, il me semble naturel de supposer qu'il faisait référence à l'autre interprétation.

— DFF

3

@ DFF, je suppose que vous manquez le point. De nombreux informaticiens ont tendance à comprendre le concept "d'indépendance". Ils comprennent également le mot "indépendance". Le problème survient lorsque quelqu'un utilise le mot «indécidable» pour signifier «indépendant», lorsque l'on parle à un informaticien - parmi les informaticiens, par défaut, «indécidable» sera interprété comme signifiant «Turing-indécidable» (comme le problème stoppant »). , pas "indépendant". Ce n'est pas parce que les informaticiens n'ont jamais entendu parler du concept d'indépendance, c'est parce que nous avons une signification standard pour le terme "indécidable".

— DW