Prouver qu'un arbre binaire a au plus

J'essaie de prouver qu'un arbre binaire avec $n$ nœuds a au plus $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ feuilles. Comment pourrais-je procéder avec l'induction?

Pour les personnes qui suivaient la question initiale sur les tas, elle a été déplacée ici .

— varatis
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Tout d'abord, notez que nous pouvons utiliser LaTeX ici. Cliquez sur "modifier" pour voir comment je l'ai fait. Deuxièmement, je ne vois pas d'induction. Vous jetez quelques chiffres là-bas, mais il n'y a aucune structure de preuve et aucune relation avec les tas. Pouvez-vous l'améliorer? Et enfin, l'affirmation est fausse: une liste triée remplit la propriété du tas et n'a qu'une seule feuille. Avez-vous omis certaines hypothèses?

— Raphael

La modification de @ Kaveh est-elle ce que vous aviez en tête, c'est-à-dire "tout au plus"?

— Raphael

@Raphael, en relisant la question, je pense qu'il pourrait s'agir de tas où chaque nœud interne a exactement deux enfants (auquel cas la question d'origine a du sens et la revendication est correcte, ou quelque chose de similaire).

— Kaveh

@Kaveh Ah oui, je vois votre confusion. Les nœuds du tas ont au plus deux enfants (d'où la balise d'arbre binaire)

— varatis

Je vois. La demande étant formulée avec précision, il n'est en effet pas nécessaire de formuler d'autres hypothèses. La propriété est valable pour tous les arbres binaires.

— Raphael

Réponses:

Je suppose maintenant que la question est la suivante:

Etant donné un arbre binaire à nœuds, prouver qu'il contient au plus $n$ feuilles. $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Travaillons avec la définition d'arbre . Pour un tel arbre, soit le nombre de nœuds dans et le nombre de feuilles dans $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ $T$ .

Vous avez raison de le faire par induction, mais vous aurez besoin d' une induction structurelle qui suit la structure de l'arbre. Pour les arbres, cela se fait souvent en induction complète sur la hauteur $h(T)$ des arbres.

L'ancre à induction a deux parties. Premièrement, pour nous avons avec ; la revendication vaut clairement pour l'arbre vide. Pour , c'est-à-dire , nous avons de même $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$ , donc la demande est valable pour les feuilles.

L'hypothèse d'induction est: Supposons que la revendication s'applique à tous les arbres (binaires) avec , arbitraire mais fixe. $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$

Pour l'étape inductive, considérons un arbre binaire arbitraire avec . Comme , et . Comme et sont également des arbres binaires (sinon ne le serait pas) et $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ , l'hypothèse d'induction s'applique et a $h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Comme toutes les feuilles de sont soit en soit en , nous avons cela $T$ $L$ $R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

L'inégalité marquée avec peut être vérifiée par une distinction de casse (quadridirectionnelle) pour savoir si $(*)$ $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$ . Par la puissance de l'induction, cela conclut la preuve.

Comme exercice, vous pouvez utiliser la même technique pour prouver les affirmations suivantes:

Tout arbre binaire parfait de hauteur a $h$ $2^h-1$ nœuds.
Chaque arbre binaire complet a un nombre impair de nœuds.

— Raphael
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Je suis un peu confus par la question. Si vous êtes intéressé par les arbres avec un degré au plus , ce que Wikipédia dit que vous voulez, alors nous rencontrons le problème qu'un seul bord a $3$ $n=2$ nœuds et feuilles, mais . Quoi qu'il en soit, voici quelque chose de proche qui a un argument facile. $n=2$ $n/2 = 1$

Soit un tel arbre à nœuds et feuilles. Puisque est un arbre, il y a arêtes, et en les comptant deux fois, nous voyons que qui dit que $T$ $n$ $L$ $T$ $n-1$

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$

n \geq 3

$n\ge 3$

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$

— Louis
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Je suppose que nous supposons silencieusement les arbres enracinés ici; Wikipédia le fait aussi.

— Raphael

Wikipedia équivoque en quelque sorte: "En dehors de l'arbre, il y a souvent une référence au nœud" racine "(l'ancêtre de tous les nœuds), s'il existe." Quoi qu'il en soit, cet argument semble mériter d'être écrit, car il est différent et assez simple.

— Louis

Si vous continuez à lire, tous les bords sont dirigés, ils parlent d '"enfants" et de "parents". Cela n'a pas de sens dans les arbres non racinés. En conséquence, une feuille serait un nœud avec un degré extérieur 0.

— Raphael