Existe-t-il un double concept de «Turing Complete» dans la logique?

Il peut être démontré que deux modèles informatiques sont co-complets si chacun peut coder un simulateur universel pour l'autre. On peut montrer que deux logiques sont co-complètes si un codage des règles d'inférences (et peut-être des axiomes si elles existent) de chacune se révèle être des théorèmes de l'autre. En calculabilité, cela a conduit à une idée naturelle de l'exhaustivité de Turing et de la thèse de Church Turing. Cependant, je n'ai pas vu où les co-complétudes logiques ont conduit à une idée naturellement induite d'une complétude totale de qualité similaire.

Étant donné que la prévisibilité et la calculabilité sont si étroitement liées, je pense que ce n'est pas trop de considérer qu'il pourrait y avoir un concept en logique qui est un double naturel de l'exhaustivité de Turing. Spéculativement, quelque chose comme: il y a un "vrai" théorème qui n'est pas prouvable dans une logique si et seulement s'il y a une fonction calculable qui n'est pas descriptible par un modèle informatique. Ma question est: quelqu'un a-t-il étudié cela? Une référence ou quelques mots clés seraient utiles.

Par "vrai" et "calculable" dans le paragraphe précédent, je fais référence aux idées intuitives mais finalement indéfinissables. Par exemple, quelqu'un pourrait montrer que la finitude des séquences de Goodstein est "vraie" mais non prouvable dans l'arithmétique de Peano sans définir complètement le concept de "vrai". De même, par diagonalisation, on peut montrer qu'il existe des fonctions calculables qui ne sont pas récursives primitives sans réellement définir complètement le concept de calculable. Je me demandais, même si elles ont tendance à être en fin de compte des concepts empiriques, peut-être que les concepts pourraient être suffisamment liés les uns aux autres pour relier les concepts d'exhaustivité.

computability logic turing-completeness

— DanielV
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Poste intéressant. Je me demande comment pouvons-nous montrer "qu'il existe des fonctions calculables qui ne sont pas récursives primitives sans réellement définir complètement le concept de calculable". Ne faut-il pas d'abord bien définir le concept «calculable» pour fonctionner avec lui? Ou est-ce que je manque quelque chose?

— fade2black

@ fade2black Si vous énumérez toutes les fonctions récursives primitives comme , puis définir la fonction , alors est clairement calculables au sens intuitif , mais pas récursive primitive car elle diffère de chaque . La notion intuitive de «je peux calculer cela» a été utilisée sans établir réellement un modèle calculable.

P

$P$

R (x) = P_{x} (x) + 1

$R(x) = P_x(x) + 1$

R

$R$

P

$P$

— DanielV

Désolé, je voulais dire "fonction calculable". Habituellement, lorsque nous disons qu'une fonction est calculable, nous voulons dire que nous avons fixé un modèle calculable et qu'il existe un ensemble d'instructions bien défini qui, à l'entrée donne . N'est-ce pas précis?

f

$f$

x

$x$

f (x)

$f(x)$

— fade2black

Vous ne pouvez pas définir cette question.

— DanielV

Découvrez la théorie des types d'homotopie .

— Pål GD

Je ne sais pas pourquoi vous dites «vrai» est finalement indéfinissable, car il existe une définition précise de ce que signifie une formule de premier ordre pour être vraie .

Ce qui est unique dans le cas de la calculabilité, c'est que pour toute définition (aussi sauvage que vos rêves) d'un "modèle de calcul", vous pouvez enfin l'associer à un ensemble de fonctions (les fonctions qu'il peut calculer). Ainsi, vous pouvez naturellement comparer différents modèles, et en en fixant un (basé sur une justification empirique telle que "c'est une bonne représentation du calcul dans le monde réel"), vous pouvez appeler tout autre modèle complet s'il calcule exactement le même ensemble de les fonctions.

Cependant, comment comparez-vous différentes logiques? Il semble qu'il n'y ait aucune propriété naturelle que vous puissiez attacher à une logique arbitraire et l'utiliser pour la comparer à d'autres systèmes. Vous pouvez peut-être fixer la logique, par exemple la logique des prédicats du premier ordre, et vous interroger sur l'exhaustivité d'un système axiomatique. Supposons que vous travaillez dans ZFC et que vous pensez qu'il est constitué des axiomes naturels qui représentent le monde. Maintenant, quand on leur donne un système axiomatique différent, vous pouvez demander s'ils ont la même théorie et appeler ce système complet dans le cas où la réponse est oui. Je pense que la différence avec le cas de la calculabilité, c'est que pour la calculabilité, il y a un consensus plus fort sur ce que devrait être le "modèle de base". La raison de ce consensus est que de nombreux modèles de calcul indépendants se sont révélés plus tard équivalents,

— Ariel
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Il existe des moyens de comparer les logiques, il semble que vous ne les connaissiez pas.

— Andrej Bauer

Je suppose que j'aurais dû être plus prudent. Voulez-vous donner une réponse plus précise?

— Ariel