Existe-t-il des problèmes «O (1) -complet»?

De nombreuses classes de complexité ont des problèmes "complets". Existe-t-il des problèmes complets pour la classe de complexité des problèmes qui peuvent être résolus en temps ? $O(1)$

Une complication est que cette classe dépend du modèle de calcul; un problème peut être résolu en temps dans un modèle de calcul raisonnable mais pas dans un autre, étant donné que "raisonnable" signifie généralement l'équivalence de temps polynomial avec une machine de Turing. Cependant, il pourrait encore être élaboré pour des modèles raisonnables spécifiques. $O(1)$

Je pense qu'il est plus logique d'examiner les réductions de plusieurs à temps constant. Cependant, je suis également disposé à envisager d'autres réductions raisonnables s'il existe de la documentation à leur sujet.

Existe-t-il quelque chose comme cela, ou a-t-il été étudié, pour un modèle de calcul?

complexity-theory time-complexity constant-time

— Mike Battaglia
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Réponses:

Comme la lecture de l'entrée est nécessaire pour presque tous les problèmes, nous avons besoin d'au moins temps pour presque tous les problèmes, où est la taille de l'entrée. Par conséquent, vous pouvez penser à la classe des problèmes de temps linéaire, qui est déjà définie. $\Omega(n)$ $n$

Cependant, nous ne connaissons toujours pas de problème -complete ou -complete. Le domaine de la complexité fine a de nouveaux résultats dans ce domaine, mais les classes sont basées sur des problèmes (par exemple, APSP est équivalent à Radius, Negative Triangle, ...). $O(n)$ $O(n^2)$

— Mohemnist
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Je ne sais pas si cela répond à la question. De nombreux problèmes nécessitent du temps , mais pas tous - il y a encore des problèmes qui peuvent être résolus en temps - il semble donc que la question posée reste pertinente.

Ω (n)

$\Omega(n)$

O (1)

$O(1)$

— DW

Cela suppose également que l'entrée doit être lue séquentiellement et qu'il n'y a pas d'indirection, ce serait donc l'un de ces cas où le modèle est vraiment important. (Je me demande si je devrais insister sur l'indirection et éventuellement le hasard dans mon message d'origine, sinon vous rencontrez un tas de barrages triviaux comme celui-ci)

— Mike Battaglia

Problème pour décider si quelque chose est donné car l'entrée prend du temps . Tous les autres problèmes qui prennent un temps constant sont des versions constantes bornées d'autres problèmes.

O (1)

$O(1)$

— rus9384

Qu'entendez-vous exactement par "versions constantes bornées d'autres problèmes"?

— Mike Battaglia

@MikeBattaglia, par exemple, si la machine Turing s'arrête après avoir effectué 100 étapes.

— rus9384

Je pense que pour les problèmes , tous les langages sont complets sous "réductions à temps constant" sauf et $O(1)$ $L = \Sigma^*$ $L = \emptyset$

Supposons que et $L, L' \in O(1)$ $L \neq 0, L \neq \Sigma^*$

Soit $x_Y \in L, x_N \notin L$

Il s'agit d'une réduction en temps constant de à : $L'$ $L$

étant donné résoudre en le temps $x$ $L'$ $O(1)$
si alors sortie , sinon sortie $x \in L'$ $x_Y$ $x_N$

Donc est complet pour (... réduction paresseuse, résultat paresseux :-)). $L$ $O(1)$

— Vor
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En général, la dureté d'une classe n'est pas définie de manière significative pour des réductions aussi puissantes que lui-même, pour exactement la raison que vous avez indiquée. Pour avoir une définition significative de TIME ( ) -complete, nous aurions besoin de réductions plus faibles que le temps constant. Je ne sais pas ce que ça pourrait être.

C

$C$

C

$C$

O (1)

$O(1)$

— Pontus

@Pontus: je suis d'accord; et certainement pas si intéressant ... sauf si nous vivons dans un univers discret et fini :-D

— Vor

... nous pourrions utiliser réductions de pas ( fixes), mais dans ce cas il n'y a pas de problèmes complets ... ou ajouter une contrainte entre la taille de la MT et le nombre de pas constants (par exemple si la taille de la ( déterministe / non déterministe) TM est alors seulement étapes sont autorisées) ...

k

$k$

k

$k$

n

$n$

n / 2

$n / 2$

— Vor

Oui, peut-être que quelque chose d'intéressant peut (ou a été) inventé. Quelle est la MT dans votre dernière suggestion?

— Pontus

@Vor Qu'en est-il de la largeur constante constante de temps dans un modèle parallèle?

— l4m2