Comment comprendre la réduction du problème de 3-Coloration au général

Le problème de 3-coloration peut être prouvé NP-complet en utilisant la réduction de la coloration de graphique 3SAT (de 3SAT) . En conséquence, le problème de 4-Coloration est NP-Complete en utilisant la réduction de 3-Coloration:

Réduction de l'instance 3-Coloring: ajouter un sommet supplémentaire au graphique du problème 3-Coloring et le rendre adjacent à tous les sommets d'origine.

En suivant le même raisonnement, 5-Coloration, 6-Coloration et même général $k$-Le problème de coloration peut être prouvé facilement NP-complet. Cependant, mon problème vient de l'induction mathématique sous-jacente:

Mon problème: que se passe-t-il si l'induction se poursuit $n-1$-Coloration et $n$-Problème de coloration, où $n$est le nombre de sommets dans le graphique? Je sais certainement que$n$-Le problème de coloration peut être résolu de manière triviale. Alors, y a-t-il quelque chose qui ne va pas dans le raisonnement? Comment comprendre la réduction du problème de 3-Coloration au général$k$-Une couleur?

le $k$-le problème de coloration n'est généralement défini que pour une constante $k$, donc $n$-la coloration n'a pas de sens. Pour chaque constante$k \geq 3$, la réduction dont vous parlez fonctionne. En ajoutant un nombre superconstant de sommets, vous pouvez montrer, par exemple, que$(n/2+3)$-la coloration est NP-complète.

Votre contradiction apparente vient de l'abus de la notation "$n$": sa signification change au fur et à mesure que vous avancez dans la question.

Quand tu dis ça $n$-la coloration est triviale, ce que vous voulez dire, c'est qu'il est trivial de colorier n'importe quel graphique $G$ avec $|V(G)|$couleurs. Mais le$n$-problème de colorabilité pour toute constante $n$ est le problème de déterminer si un graphe d'entrée arbitraire, avec un nombre quelconque de sommets, a un bon $n$-coloration.

La chaîne de réductions de $3$-colorabilité à $n$-la colorabilité ajoute $n-3$sommets du graphique. Cela signifie que la seule façon dont vous pourriez vous retrouver avec une instance triviale de la$n$- le problème de colorabilité est si votre entrée d'origine $3$-un problème de colorabilité $3$ ou moins de sommets - une telle instance était déjà trivialement $3$-colorable.

Soit dit en passant, il n'est pas nécessaire d'utiliser l'induction pour prouver que $k$-la colorabilité est NP -complète pour chaque $k\geq 3$car il est facile de composer la séquence de réductions qui apparaîtrait dans l'induction. Un graphique $G$ est $3$-colorable si, et seulement si, le graphique $G'$ est $k$-colorable, où $G'$ est l'union disjointe de $G$ et une copie de $K_{k-3}$, plus tous les bords possibles entre les deux parties.

le $k$-le problème de coloration est de colorier n'importe quel graphique. Vous pouvez certainement trouver des graphiques pour lesquels$k$-la coloration est triviale ainsi que les formules pour lesquelles le SAT est trivial ou etc. Cela n'impacte cependant pas la complexité des problèmes en général.