Si P = NP, pourquoi

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Apparemment, si , toutes les langues de exception de et seraient terminées. ${\sf P}={\sf NP}$ ${\sf P}$ $\emptyset$ $\Sigma^*$ ${\sf NP}$

Pourquoi ces deux langues en particulier? Ne pouvons-nous pas leur réduire une autre langue en en les sortant lors de l'acceptation ou de la non-acceptation? ${\sf P}$

complexity-theory np-complete reductions

— David Faux
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Comme il n'y a pas de chaînes dans $\emptyset$ , toute machine qui la calcule rejette toujours, donc nous ne pouvons pas mapper l'instance Oui d'autres problèmes à quoi que ce soit. De même pour $\Sigma^{\ast}$ il n'y a rien à mapper sur No-instances.

— Luke Mathieson
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Vous avez besoin d' une réduction polynomiale du problème $A$ au problème $B$ si vous voulez prouver que $B$ est « plus difficile » que $A$ . On construit une réduction polynomiale en transformant toute instance $x$ de $A$ dans une instance $f(x)$ de $B$ tel que $x∈A$ ssi $f(x)∈B$ .

La fonction doit et peut être polynomiale. Si et est un problème NP, alors peut lui - même de résoudre le problème du problème et d' intégration tout dans un élément de et tout dans un élément qui ne sont pas dans . $f$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $f$ $A$ $x∈A$ $y$ $B$ $x\notin A$ $z$ $B$

Si est soit ou alors ou ne peut pas exister, sinon le raisonnement ci - dessus montre que est plus difficile que . $B$ $∅$ $Σ^*$ $y$ $z$ $B$ $A$

— jmad
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Juste une note: les réponses précédentes sont correctes, mais vous n'êtes pas trop loin de la réduction triviale correcte:

si alors tout est Karp réductible à la langue (il suffit de mapper en temps polynomial tous les à 1, tous les à 0), qui est trivialement un langage clairsemé $\sf{P} = \sf{NP}$ $L \in \sf{NP}$ $\{1\}$ $x \in L$ $x \notin L$

La direction inverse: "si un langage complet est Karp réductible à un ensemble clairsemé alors " est certainement plus intéressant et il est connu comme le théorème de Mahaney : $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

Soit une constante et fixé de telle sorte que pour tout , ait au plus chaînes de longueur . Si est terminé, alors . $c$ $A$ $n$ $A$ $n^c$ $n$ $A$ $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

— Vor
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