Preuves utilisant le lemme de pompage régulier

J'ai deux questions:

1. Je considère la langue suivante

   $$L_1= \{ w\in \{0,1\}^* \mid \not \exists u\in \{0,1\}^* \colon w= uu^R\}.$$ En d'autres termes $w$n'est pas palindrome de même longueur. J'ai prouvé que ce langage n'est PAS régulier en prouvant que son complément n'est pas régulier. Ma question est de savoir comment le prouver en utilisant le lemme de pompage sans passer par le complément.

2. Laisser

   $$L_2=\{w\in\{0,1\}^* \mid \text{$w$ has same number of 101 substrings and 010 substrings}\}.$$ J'ai prouvé que ce langage n'est pas régulier en utilisant des classes d'équivalence. Comment puis-je le prouver en utilisant le lemme de pompage?

Merci beaucoup pour l'édition :)

Toutes les langues non régulières ne réussissent pas le test du lemme de pompage. Wikipédia a un exemple extrêmement complexe d'une langue non régulière qui peut être pompée. Donc, même si une langue n'est pas régulière, nous ne pourrons peut-être pas prouver ce fait en utilisant le lemme de pompage.

Mais il s'avère que nous pouvons utiliser le lemme de pompage pour prouver que votre langue maternelle n'est pas régulière. Je ne suis pas sûr de la seconde.

Prétendre: $L_1$ n'est pas régulier.

Preuve: par le lemme de pompage. Laisser$p$être la longueur de pompage. (Je vais utiliser l'alphabet$\{a,b\}$ plutôt que $\{0,1\}$.) Si $p = 1$, puis prenez la chaîne $abbaa$, lequel est dedans $L_1$ et le pomper $aabbaa$ qui n'est pas en $L_1$, donc $L_1$ ne serait pas régulier.

Si $p > 1$, puis prenez la chaîne $a^pbba^{N}$. (Nous trouverons ce que nous voulons$N$ être plus tard.) Considérez ensuite toute division de la chaîne en $xyz$ où $x=a^{p-k}$, $y=a^k$, et $z=bba^{N}$.

Maintenant, pompons cette chaîne $i$fois. (Nous trouverons ce que nous voulons$i$ être plus tard.) Nous obtenons la chaîne $xy^iz$, qui donne $a^{p-k}a^{ik}bba^{N} = a^{p-k+ik}bba^{N}$.

Maintenant, revenons en arrière. Tout d'abord, nous avons choisi$N$. Ensuite, un choix de$k$a été faite. Ensuite, nous avons choisi$i$. Nous voulons comprendre ce que$N$ choisir de telle sorte que, pour tout choix de $k \in [1,p]$, nous pouvons choisir un $i$ qui fait de cette chaîne un palindrome en faisant le nombre de $a$s à gauche est égal au nombre à droite. (Il aura toujours une longueur égale.)

Nous voulons donc toujours obtenir cela $p-k+ik=N$. Si nous jouons avec les mathématiques, nous constatons que nous devons choisir$N=p+p!$ et choisissez $i=p!/k+1$.

Donc, pour récapituler, nous avons choisi $N=p+p!$ et a choisi la chaîne $a^pbba^N$. Ensuite, un choix de$k$ a été fait pour que la chaîne soit composée de $a^{p-k}ybba^N$ où $y=a^k$. Ensuite, nous avons choisi$i=p!/k + 1$. Nous avons pompé la chaîne pour obtenir$a^{p-k}y^{i}bba^N = a^{p-k}a^{ik}bba^N = a^{p-k+ik}bba^N$.

Mais nous savons que $p-k+ik = p-k+(\frac{p!}{k}+1)k = p-k+p!+k=p+p!$. Et$N=p+p!$. Donc, le nombre de$a$s aux deux extrémités est le même, donc la chaîne est un palindrome de longueur égale, donc ce n'est pas dans $L_1$, donc $L_1$ n'est pas régulier. $\square$

Pour la première question, la chaîne $0^{p}1^{2p}0^{p+p!}$est un contre-exemple approprié. Quelle que soit la durée de$y$ est, il doit être un facteur de $p!$donc on pompe assez et on obtient $p+p!$ zéros au début.

Après une longue réflexion, je pense avoir répondu 2.

nous choisissons la chaîne (010) ^ N (101) ^ N, où N est la longueur de pompage. Peu importe ce que nous choisirons, xy ^ 0z aura plus de 101 que de 010. L'idée est que nous ne pouvons ajouter que 101 sous-chaînes supplémentaires dans la première partie de la chaîne ou supprimer quelques sous-chaînes de 010.