Algorithme pour trouver toutes les listes de voisins à 2 sauts dans un graphique

Étant donné un graphique , où . Qu'est - ce qu'un algorithme rapide pour générer la collection de toutes les listes de quartier 2-hop de tous les nœuds . $G = (V,E)$ $|V| = n$ $V$

Naïvement, vous pouvez le faire en . Avec la puissance des matrices, vous pouvez le faire avec utilisant l'algorithme de Strassen. Vous pouvez faire mieux que cela en utilisant un autre algorithme de multiplication matricielle. Une meilleure méthode? Un algorithme de Las Vegas? $O(n^3)$ $O(n^{2.8})$

— AJed
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Il existe un algorithme déterministe O (n ^ 2).

— Mike G

@MikeG comment faire?

— AJed

@MikeG a trouvé un merveilleux algorithme de multiplication de matrice de temps quadratique qui est malheureusement trop petit pour tenir dans un commentaire de stackexchange

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Pouvez-vous donner une référence?

— Raphael

La question dépend vraiment de la définition précise d'un 2-hop. Si par 2 sauts vous voulez dire l'ensemble

h p (v) = {u ∣ il y a un chemin de longueur 2 entre u et v},

$hp(v) = \{ u \mid \mbox{there is a path of length 2 between u and v}\},$ alors la réponse actuelle est non, vous ne pouvez pas le faire plus rapidement que

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ où

ω

$\omega$ est la constante habituelle associée à la complexité d'exécution du produit matriciel.

Pourquoi? Pour chaque sommet $v$ vérifier si $v$ est adjacent au sommet $hp(v).$ Si tel est le cas, vous avez trouvé un triangle dans votre graphique. De plus le graphe est sans triangle si vous ne trouvez pas de sommet $v$ avec cette propriété.

L'algorithme actuellement le plus connu pour tester si un graphe est sans triangle a une complexité temporelle $O(n^{\omega}).$

— Jernej
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Intéressant, avez-vous une référence pour le problème de reconnaissance sans triangle. Existe-t-il une limite inférieure prouvée pour ce problème?

— AJed

Non, il n'y a pas de limite inférieure prouvée mais récemment, une connexion très surprenante a été trouvée. Si vous pouvez détecter des triangles plus rapidement que

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ alors vous pouvez calculer le produit matriciel plus rapidement que

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ . Voir l'article "Triangle Detection Versus Matrix Multiplication: A study of Truly Subcubic Reductibility" par Williams et Williams. Ici kam.mff.cuni.cz/~matousek/cla/tria-mmult.pdf

— Jernej

Bien, heureux que cela ait aidé!

— Jernej