Pourquoi est-ce

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$3^n = 2^{O(n)}$ est apparemment vrai. Je pensais que c'était faux car $3^n$ croît plus rapidement que n'importe quelle fonction exponentielle avec une base de 2.

Comment est $3^n = 2^{O(n)}$ vrai?

asymptotics landau-notation

— David Faux
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Attention aux abus de notation!

— Raphael

Vraiment je ne comprends pas

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$ signifier? d'abord je l'ai changé en

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$ , après cela, j'ai vu de nouveau que cela n'avait aucun sens. La question de l'OMI n'a pas de sens.

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Il est extrêmement courant d'écrire

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$ pour ce qui devrait être au sens strict

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$ . Si commun qu'il n'est même pas considéré comme un abus de notation.

— David Richerby

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Avec une algèbre (et changer la constante dans le $O(n)$ ), nous pouvons en fait changer les bases.

3^{n} = (2^{\log_{2} 3})^{n} = 2^{n \log_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

Depuis $\log_2 3$ est une constante, $n\log_2 3 = O(n)$ . Donc $3^n = 2^{O(n)}$ .

Je ne sais pas ce que tu veux dire par " $3^n$ croît plus rapidement que n'importe quelle fonction exponentielle avec une base de 2. " $2^n = o(3^n)$ bien sûr, mais il semble que vous vouliez dire quelque chose de plus général. Je suppose que votre déclaration s'applique à quelque chose comme $O(3^n)$ , où vous multipliez la base par une constante, par opposition à $2^{O(n)}$ où vous multipliez le nombre de l'exposant par une constante.

— SamM
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$3^n$ croît plus rapidement que toute fonction exponentielle avec une base de $2$ .

Vrai. Cela implique que $3^n = O(2^n)$ Ne peut pas être vrai. Mais ce que vous avez ici, c'est $2^{O(n)}$ .

Rappeler que $O(f(n))$ est vraiment un ensemble de fonctions, et à proprement parler, nous devrions écrire $3^n \in 2^{O(n)}$ (ou même $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$ ). Le côté droit n'est pas l'exponentielle d'une fonction, mais l'exponentielle d'un ensemble de fonctions. Élargir la définition du grand oh:

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

Depuis la fonction exponentielle $n \mapsto 2^n$ augmente, on peut sortir l'inégalité de l'exponentielle:

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

Contraste avec

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

Dans $2^{O(n)}$ , la constante multiplicative est à l'intérieur de l'exponentielle. Dans $O(2^n)$ , il est multiplié par l'exponentielle. $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ , nous avons donc (pour tout $n \ge 0$ ) $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ c'est-à-dire que nous pouvons prendre $N = 0$ et $p = \log_2 3$ , montrant que $3^n \in 2^{O(n)}$ .

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'
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$3^n=2^{O(n)}$ est en fait vrai parce que si vous vous souvenez $O(n)$ définition, vous verrez que vous pouvez ajouter / multiplier par n'importe quelle constante. Donc:

$3^n < 2^{kn}$ // $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

Comme vous pouvez le voir $2^{kn}$ est plus grand alors $3^n \iff k > \log_2(3)$

— Bartosz Przybylski
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