Qu'est-ce qu'un super univers?

Je lis cet article bien connu sur les univers en théorie des types . Au début, je m'attendais à quelque chose de similaire à SetωAgda, mais il s'avère que c'est même quelque chose de plus général. Il semble généraliser la construction de l'univers d'un simple type inductif-récursif à un liant (similaire à et ). La principale question que je veux poser est, quelle est l'intention derrière cela?$\Pi$$\Sigma$

Voici du code Idris définissant les univers habituels de style Tarski:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

J'essaie de généraliser en quelque chose comme

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

Que devrait ???être? L'auteur de l'article vient de dire que les univers devraient être fermés sous des formateurs définis.

edit: je pense que ???c'est tout simplement b...

Une intention derrière avoir un opérateur d'univers et un super-univers fermé sous lui, est de donner une version théorique des grands axiomes cardinaux connus de la théorie des ensembles. Un cardinal inaccessible est comme un univers de théorie des types. Le prochain type de cardinal intéressant est un cardinal Mahlo . Parlant intuitivement, un cardinal Mahlo est celui qui a "beaucoup" de cardinaux inaccessibles en dessous. Que serait-ce en termes de théorie des types? Ce devrait être une sorte d'univers avec beaucoup, beaucoup d'univers. C'est à cela que s'adresse Palmgren lorsqu'il considère les super-univers.$U$

Il y a aussi un côté plus pratique à avoir de nombreux univers. Il est utile d'avoir des types inductifs-récursifs dans la théorie des types, à toutes sortes de fins. Mais ils nous permettent de définir de nouveaux univers, la question est donc de savoir combien ? Pour avoir une idée de ce que fait Palmgren, au lieu de viser immédiatement le super-univers, essayez la séquence de constructions suivante dans Agda (en utilisant l'induction-récursivité):

1. Définissons un univers , contenant (un code de) N et fermé sous Π et Σ . Ce genre d'univers correspond à un cardinal inaccessible .$U_0$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$

2. Définissez un opérateur qui prend tout type A et définit un univers qui contient (un code de) A et est fermé sous Π et Σ . Ce type d'opérateur d'univers s'apparente à l'axiome d'univers de Grothendieck . Combien d'univers pouvons-nous obtenir en appliquant plusieurs fois U , à partir de N ?$U$$A$$A$$\Pi$$\Sigma$$U$$\mathbb{N}$

3. Pour obtenir encore plus d'univers, nous postulons un super-univers qui contient beaucoup d'univers, comme suit:$V$

   • contient N et est fermé sous Π et$V$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$
   • Étant donné (code de) un type et une famille B : A → V , il y a un univers U , qui est un élément de V , il contient tous les types de la famille B , et est fermé sous Π et Σ .$A : V$$B : A \to V$$U$$V$$B$$\Pi$$\Sigma$

   Combien d'univers contient-il? Notez que nous pouvons obtenir une famille B : N → V telle que B ( n ) est le n -ième univers, et donc V doit contenir un univers U ω qui contient tout cela. Et ce n'est qu'un début!$V$$B : \mathbb{N} \to V$$B(n)$$n$$V$$U_\omega$