Combien d'arêtes un graphe unipathique peut-il avoir?

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Un graphe unipathique est un graphe orienté tel qu'il existe au plus un chemin simple d'un sommet à un autre sommet.

Les graphiques unipathiques peuvent avoir des cycles. Par exemple, une liste doublement chaînée (pas circulaire!) Est un graphe unipathique; si la liste contient $n$ éléments, le graphique a $n-1$ cycles de longueur 2, pour un total de $2(n-1)$ .

Quel est le nombre maximum d'arêtes dans un graphe unipathique à $n$ sommets? Une borne asymptotique ferait l'affaire (par exemple $O(n)$ ou $\Theta(n^2)$ ).

_{Inspiré par Trouver les chemins les plus courts dans un graphique unipathique pesé ; dans ma preuve , j'ai d'abord voulu affirmer que le nombre d'arêtes était mais j'ai ensuite réalisé que limiter le nombre de cycles était suffisant. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'
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Bonne question. Nous devons essayer d'améliorer votre limite inférieure ou ma limite supérieure :).

— RB

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Un graphique unipathic peut avoir des bords. Il y a une sorte bien connu du graphique qui est unipathic et a arêtes. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Considérons un graphe bipartite complet, avec des arêtes orientées . Ce graphe est unipathique et n'a pas de cycle: tous ses chemins ont une longueur . Il a sommets et arêtes. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Question de suivi: ce rapport est-il maximal? Probablement pas, mais je n'ai pas d'autre exemple. Cet exemple est maximal dans le sens où n'importe quelle arête que vous ajoutez entre des nœuds existants rompra la propriété unipathique.)}

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'
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"tout bord que vous ajoutez entre des nœuds existants rompra la propriété unipathique" Comment l'ajout du bord

romprait-il la propriété?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

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Je suppose que mon esprit était en quelque sorte unipathique ce jour-là :) En ce qui concerne la maximalité, le rapport peut aller à 1/4 pour les grands

, mais pour

la liste doublement liée a plus de bords que

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

Je ne sais pas s'il y a un graphique unipathique sur plus de bords, mais voici un argument montrant que pas plus de $\frac{n^2}{4}$ arêtes sont possibles: $\frac{n^2}{2}+3$

Supposons par contradiction que est un graphe unipathique tel que $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Par le principe du pigeonnier, il existe tel que $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Notons $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Notez que s'il y avait un sommet tel que $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

Alors le graphe ne serait pas unipathique (car et sont tous les deux des chemins valides). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— R B
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