Qu'est-ce qu'une «contradiction» dans la logique constructive?

Dans Fondements pratiques pour les langages de programmation , Robert Harper dit

Si pour qu'une proposition soit vraie signifie en avoir la preuve, que signifie qu'une proposition est fausse? Cela signifie que nous en avons une réfutation , montrant qu'elle ne peut pas être prouvée. Autrement dit, une proposition est fausse si nous pouvons montrer que l'hypothèse qu'elle est vraie (a une preuve) contredit des faits connus.

Mais alors, cela soulève la question: qu'est-ce qu'une contradiction dans la logique constructive / intuitionniste?

Est-ce que cela signifie en quelque sorte dériver ? Comment cela se produirait-il de manière sensée? Un jugement de la forme devrait-il être introduit?$(\bot\text{ true})$$(A \supset \bot \text{ true})$

Alternativement, cela peut-il signifier dans le sens où le lecteur utilise sa discrétion pour étiqueter de manière informelle quelque chose comme contradictoire? Par exemple, interpréter et comme des propositions contradictoires.$a = b$$a \neq b$

Peu importe que l'on parle de logique constructive ou classique dans cette situation. Si vous relisez vos questions, vous verrez qu'elles s'appliquent aux deux types. La seule différence que nous devons prendre connaissance de la présentation est de négation . Il peut être présenté de plusieurs manières classiques, mais intuitivement, il est préférable de l'utiliser comme abréviation pour (qui est précisément ce que Bob Harper fait allusion dans le paragraphe cité). Mais ne confondons pas négations et contradictions.$\lnot A$$A \Rightarrow \bot$

Dans les deux cas, une contradiction est une situation dans laquelle nous avons réussi à prouver la fausseté$\bot$ . Comment pourrions-nous dériver d'une manière sensée? Eh bien, à partir d'un ensemble d'hypothèses incohérentes, cela serait une façon sensée de le faire.$\bot$

Vous n'avez aucune discrétion pour "déclarer" une contradiction. Vous devez prouver qu'un ensemble d'hypothèses donné est contradictoire en dérivant . Par exemple, si et alors nous pouvons utiliser le fait que est l'abréviation de et conclure par modus ponens.$\bot$$a = b$$\lnot (a = b)$$\lnot (a = b)$$(a = b) \Rightarrow \bot$$\bot$

Une contradiction est généralement représentée comme . Il est typique dans la logique intuitionniste de définir comme . Il est clair que nous pouvons tirer de . En fin de compte, une contradiction sera une dérivation hypothétique de comme le suggère la définition même de . Ce sera hypothétique car sinon votre logique est incohérente.$A \land \lnot A$ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$$\bot$$A \land \lnot A$$\bot$$\lnot$

Harper fait valoir que prouver quelque chose, c'est avoir une preuve et réfuter quelque chose, c'est avoir une preuve que cela implique . Cependant, vous pouvez facilement être dans la situation que vous pouvez (méta-logique) prouvez que vous n'êtes pas en mesure de fournir soit une preuve ou de l' infirmation. Dans une telle situation, la proposition n'est ni constructive ni fausse.$\bot$

Une façon de comprendre la logique classique et de la comparer à ce qui précède est la suivante (essentiellement l'interprétation de la double négation de Kolmogorov): nous disons qu'une proposition est fausse si elle implique une contradiction, c'est-à-dire qu'elle implique . Une proposition est vraie si nous pouvons prouver qu'elle ne peut pas être contredite, c'est-à-dire que nous pouvons montrer que supposer qu'elle est fausse mène à une contradiction. Dans les symboles, est faux dans ce sens si , comme d'habitude. est vrai dans ce sens si , c'est-à-dire$\bot$$A$$A \Rightarrow \bot$$A$$\lnot A \Rightarrow \bot$$\lnot \lnot A$est prouvable. Vous pouvez montrer que la Loi du Milieu Exclu est constructive si nous interprétons «vrai» et «faux» dans ce sens. Autrement dit, vous pouvez prouver que est constructif. Plus compacte, vous pouvez afficher . Avec cette notion de «vrai» et de «faux», nous pouvons dire qu'une proposition est vraie si nous pouvons prouver qu'il n'existe aucune réfutation. En revanche, de façon constructive, une proposition peut ne pas être vraie d'un point de vue constructif même si nous pouvons démontrer au sein du système qu'aucune réfutation ne peut exister.$\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$$\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$