Quelle est la gravité asymptotique du brassage naïf?

Il est bien connu que cet algorithme «naïf» pour mélanger un tableau en échangeant chaque élément avec un autre choisi au hasard ne fonctionne pas correctement:

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

Plus précisément, puisque à chacune des $n$ itérations, l’une des$n$ choix est fait (avec une probabilité uniforme), il y a $n^n$ chemins possibles dans le calcul; parce que le nombre de permutations possibles $n!$ne divise pas uniformément le nombre de chemins $n^n$ , il est impossible pour cet algorithme de produire chacun des $n!$permutations avec probabilité égale. (Au lieu de cela, on devrait utiliser le soi-disant shuffle de Fischer-Yates , qui change essentiellement l'appel pour choisir un nombre aléatoire de [0..n) avec un appel pour choisir un numéro aléatoire de [i..n); c'est sans objet pour ma question, cependant.)

Ce que je me demande, c'est à quel point le remaniement naïf peut être «mauvais»? Plus précisément, si $P(n)$ est l'ensemble de toutes les permutations et $C(\rho)$ le nombre de chemins de l'algorithme naïf qui produisent la permutation résultante $\rho\in P(n)$ , quel est le comportement asymptotique des fonctions

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

et

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

Le facteur principal est de «normaliser» ces valeurs: si le shuffle naïf est «asymptotiquement bon», alors

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$ .

Je soupçonne (d'après certaines simulations informatiques que j'ai vues) que les valeurs réelles sont délimitées par 1, mais sait-on même si est fini ou si est délimité 0? Que sait-on du comportement de ces quantités?$\lim M(n)$$\lim m(n)$

Nous montrerons par induction que la permutation ρ n = ( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 ) est un exemple avec C ( ρ n ) = 2 n - 1 . Si tel est le pire des cas, comme pour les quelques premiers n (voir les notes de séquence OEIS A192053 ), puis m ( n ) ≈ ( 2 / e ) $\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$$C(\rho_n) = 2^{n-1}$$n$$m(n) \approx (2/e)^{n}$. Ainsi, le minimum normalisé, comme le maximum normalisé, est «exponentiellement mauvais».

Le cas de base est facile. Pour l'étape d'induction, nous avons besoin d'un lemme:

Lemme: quelle que soit la trajectoire de ( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 ) à ( 1 , 2 , 3 , … , n ) , le premier mouvement remplace les positions 1 et n , ou le dernier mouvement les positions 1 et n .$(2,3,4, \ldots, n, 1)$$(1,2,3, \ldots, n)$$1$$n$$1$$n$

Croquis de preuve: Supposons que non. Considérez le premier mouvement qui implique la n ième position. Supposons que c’est le i ème mouvement, i ≠ 1 et i ≠ n . Ce mouvement doit placer l'élément 1 à la i ème place. Considérons maintenant le prochain mouvement qui touche l’article 1 . Supposons que ce mouvement est le j « e mouvement. Ce mouvement doit permuter i et j , déplaçant l'élément 1 à la j 'ème place, avec i < j . Un argument similaire dit que le point $n$$i$$i\neq 1$$i \neq n$$1$$i$$1$$j$$i$$j$$1$$j$$i < j$$1$ne peut ensuite être déplacé vers la droite. Mais le point 1 doit finir en premier lieu, une contradiction. $1$$\square$

À présent, si le premier coup échange les positions 1 et n , les coups restants doivent prendre la permutation ( 1 , 3 , 4 , 5 , … , n , 2 ) à ( 1 , 2 , 3 , 4 , … , n ) . Si les mouvements restants ne touchent pas la première position, il s'agit de la permutation ρ n - 1 en positions 2 … n , et nous savons par induction qu'il y a$1$$n$$(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$$(1,2,3,4, \ldots, n)$$\rho_{n-1}$$2 \ldots n$C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2 chemins qui le font. Un argument similaire à la preuve du lemme dit qu'il n'y a pas de chemin qui touche la première position, car l'élément 1 doit alors se retrouver dans une position incorrecte.$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$1$

Si le dernier coup intervertit les positions 1 et n , les n - 1 premiers coups doivent porter la permutation ( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 ) à la permutation ( n , 2 , 3 , 4 , … , n - 1 , 1 ) . Encore une fois, si ces mouvements ne touchent pas la dernière position, il s’agit de la permutation ρ n - 1 et, par induction,$1$$n$$n-1$$(2,3,4,\ldots, n,1)$$(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$$\rho_{n-1}$C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2 chemins qui le font. Et encore une fois, si l’un des n - 1 premiersmouvements touche ici la dernière position, l’article 1 ne peut jamais se retrouver au bon endroit.$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$n-1$$1$

Ainsi, C ( ρ n ) = 2 C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 1 .$C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

After some digging around thanks to mhum's pointer to OEIS, I've finally found an excellent analysis and a nice (relatively) elementary argument (due, as far as I can tell, to Goldstein and Moews [1]) that $M(n)$ grows superexponentially fast in $n$:

Toute involution ι de { 1 … n } correspond à une exécution de l'algorithme de réarrangement «naïf» qui produit la permutation d'identité comme résultat, car l'algorithme échangera k avec ι ( k ) , puis échangera ι ( k ) avec k , laissant les deux inchangés. Cela signifie que le nombre d'exécutions de l'algorithme donnant la permutation d'identité est au moins égal au nombre d'involutions Q ( n ) (en fait, un peu de réflexion montre que la correspondance est égale à 1-1 et qu'il s'agit donc exactement de Q ( $\iota$$\{1\ldots n\}$$k$$\iota(k)$$\iota(k)$$k$$Q(n)$) ), et donc le maximum dans M ( n ) est borné par le bas par Q ( n ) .$Q(n)$$M(n)$$Q(n)$

Q ( n ) porte apparemment plusieurs noms, dont lesnuméros de téléphone: voirhttp://oeis.org/A000085ethttp://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28mathematics%29. Les asymptotiques sont bien connus, et il se révèle que Q ( n ) ≈ C ( $Q(n)$$Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$; from the recurrence relation $Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$ it can be inductively shown that the ratio $R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$ satisfies $\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$ and from there basic analysis gets the leading $n^{n/2}$ term in the asymptotics, though the other terms require a more careful effort. Since the 'scale factor' $\frac{n!}{n^n}$ in the definition of $M(n)$ is only about $C\sqrt{n}e^{-n}$, the leading term of $Q(n)$ dominates and yields (asymptotically) $M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$.

Goldstein and Moews in fact go on to show in [1] that the identity permutation is the most likely for large $n$, so the $\geq$ is in fact a $\approx$ and the behavior of $M(n)$ is fully settled. This still leaves the question of the behavior of $m(n)$ open; I wouldn't be too surprised if that also yielded to the analysis in their paper, but I haven't had opportunity to read it closely enough yet to really get a grip on their methods, only enough to grok the basic result.

[1] Goldstein, D. and Moews, D.: "The identity is the most likely exchange shuffle for large n", http://arxiv.org/abs/math/0010066