Intuition derrière la condition | xy | ≤ p dans le pompage du lemme pour les langues régulières

Quand je regarde les preuves du pompage du lemme , j'ai le sentiment que je manque souvent l'intuition derrière la condition | xy | ≤ p.

Quelle est exactement la raison de cette condition? Toute la littérature que j'ai examinée est soit silencieuse (pas de preuve, pas de discussion, seulement une déclaration) sur ce point, ou déclare que nous voulons que la première répétition se produise pas trop loin du début .

Mais quand il y a une inégalité impliquée, avec des symboles et des opérateurs très précis, ne nous attendons-nous pas à ce qu'il y ait une preuve claire où nous atteindrons finalement cette condition?

Ce que je recherche,

1. Preuve mathématique de la condition, | xy | ≤ p.
2. Intuition derrière la même condition.

Pour rendre les chaînes suffisamment longues, nous avons la taille de chaîne de condition au moins p. Mon problème spécifique est pourquoi il est nécessaire que | xy | ≤ p? Et qu'est-ce que ça casse si | xy | ≤ p n'est pas vrai?

( Quelle est la raison de la deuxième condition du ou des lemmes de pompage?, Ne répond pas exactement à ma question. La question est peut-être correcte, mais les réponses ne donnent que quelques exemples sans beaucoup d'intuition profonde.)

Ce n'est pas nécessaire pour la preuve. Vous pouvez prouver le lemme sans cette condition. L'ajout de cette condition rend la déclaration plus forte et donc plus utile.

L'intuition ici est que si un DFA a $p$ états et il y a une liste de $p+1$d'entre eux, la liste doit contenir deux états identiques. La chaîne$x$ est la partie qui s'étend du début de l'entrée à la première occurrence du double état, et la chaîne $y$s'étire jusqu'à la deuxième occurrence. En considérant la première répétition, nous pouvons garantir que$|xy| \leq p$, car après lecture $p$ les personnages que nous avons vus $p+1$ États.