Comment puis-je réduire la somme des sous-ensembles à la partition?

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C'est peut-être assez simple, mais j'ai du mal à obtenir cette réduction. Je veux réduire la somme des sous-ensembles à la partition, mais pour le moment je ne vois pas la relation!

Est-il possible de réduire ce problème en utilisant une réduction Levin?

Si vous ne comprenez pas, écrivez pour obtenir des éclaircissements!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
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Soit une instance de somme de sous-ensemble, où est une liste (multiset) de nombres, et est la somme cible. Laissez . Soit soit la liste formée par l' addition à . $(L,B)$ $L$ $B$ $S = \sum L$ $L'$ $S+B,2S-B$ $L$

(1) S'il existe une sous-liste sommant à , alors peut être partitionné en deux parties égales: et . En effet, la première partie résume à , et la seconde à . $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ $(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) peut être divisé en deux parties égales , alors il existe une sous - liste de sommation de . En effet, puisque et chaque partie résume à , les deux éléments appartiennent à des parties différentes. Sans perte de généralité, . Le reste des éléments dans appartiennent à et la somme de . $L'$ $P_1,P_2$ $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ $L$ $B$

— Yuval Filmus
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Mais le problème de sous-ensemble standard utilise tous les entiers, et le problème de partition utilise uniquement des entiers non négatifs ...

— gukoff

SUBSET-SUM est NP-complet même avec des entiers non négatifs, par exemple la réduction de 3SAT se retrouve avec des entiers non négatifs. De plus, il y a probablement une réduction directe de SUBSET-SUM entier à SUBSET-SUM entier non négatif.

— Yuval Filmus

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Oui, je sais, et cette réduction est très facile. Notant simplement que ce n'est pas la somme du sous-ensemble dans sa forme "par défaut". :)

— gukoff

Cela fonctionnerait-il également si est ? comme , comme

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— Curieux

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@Issam Ce ne serait pas le cas, l'instance PARTITION aurait toujours la solution .

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— Yuval Filmus

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La réponse mentionnée par @Yuval Filmus est incorrecte (elle est correcte UNIQUEMENT s'il n'y a pas d'entiers négatifs). Considérez le multiset suivant:

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

et la somme cible est . Nous savons qu'il n'y a pas de sous-ensemble. Maintenant, nous construisons l'instance pour le problème de partition. Les deux nouveaux éléments ajoutés sont et . Le multiset est maintenant: et la somme totale est de . $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

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$20$

Le problème de partition résout la réponse en donnant le sous-ensemble Ici, les 2 nouveaux éléments sont dans le même sous-ensemble (il n'y a pas d'autre moyen de partitionner la moitié de la somme). Par conséquent, ceci est un contre-exemple. La bonne réponse est la suivante:

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

Ajoutez un élément dont la valeur est . La somme totale du multiset est maintenant de . Résoudre le problème de partition qui donnera 2 sous-ensembles de somme . Une seule de la partition contiendra le nouvel élément. Nous choisissons l'autre partition dont la somme est et nous avons résolu le problème de sous-ensemble en le réduisant en un problème de partition. C'est ce que le lien explique. $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— Rohit Kumar Jena
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Mais, comme Yuval le dit dans un commentaire à sa réponse, la somme des sous-ensembles est NP- complète même si nous nous limitons aux entiers positifs. On peut donc supposer qu'il n'y a pas de nombres négatifs.

— David Richerby

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Oui, je suis d'accord, la somme du sous-ensemble est NP-complète même en cas d'entiers positifs. Je fournissais juste une preuve plus complète pour n'importe quel entier.

— Rohit Kumar Jena

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"Fournir simplement une preuve plus complète" et prétendre également à tort qu'une réponse existante est incorrecte.

— David Richerby

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C'est incorrect dans le sens où cela ne fonctionne pas pour les entiers négatifs. :) Peace :)

— Rohit Kumar Jena

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Voici une preuve simple:

Il est facile de voir que SET-PARTITION peut être vérifié en temps polynomial; étant donné une partition $P_1,P_2$ additionne simplement les deux et vérifie que leurs sommes sont égales, ce qui est évidemment une vérification temporelle polynomiale (car la sommation est une opération polynomiale et nous effectuons seulement $|X|$ plusieurs sommations au maximum).

$X$ $t$ $X'=X \cup \{s-2t\}$ $s=\sum_{x \in X}x$

( $\implies$ $S \subset X$ $t=\sum_{x \in S}x$
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ $S\cup \{ s-2t \}$ $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ $X'$
( $\impliedby$ $P_1',P_2'$ $X'$ $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ $P_1$ $P_2$ $X$
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

$t=\sum_{x \in S}x$ $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ $P_1',P_2'$ $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ $f:(X,t)\rightarrow X'$ $(X,t)$ $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$

— Pedrpan
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Somme de sous-ensemble:

Entrée: {a1, a2, ..., am} st M = {1..m} et ai sont des nombres entiers non négatifs et S⊆ {1..k} et Σai (i∈S) = t

Cloison:

Entrée: {a1, a2, ..., am} et S⊆ {1, · · ·, m} st Σai (i∈S) = Σaj (j∉S)

Partition Np Proof: si le prouveur fournit des partitions (P1, P2) pour le vérificateur, le vérificateur peut facilement calculer la somme de P1 et P2 et vérifier si le résultat est 0 en temps linéaire.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Soit x l'entrée de SubsetSum et x = 〈a1, a2, ..., am, t〉 et Σai (i de 1 à m) = a

Cas 1: 2t> = a:

Soit f (x) = 〈a1, a2, ..., am, am + 1〉 où am + 1 = 2t − a

Nous voulons montrer que x∈SubsetSum ⇔ f (x) ∈PARTITION

donc il existe S⊆ {1, ..., m} st T = {1..m} - S et Σai (i∈T) = at

et Soit T '= {1 ... m, m + 1} - S donc Σaj (j∈T') = a-t + 2t-a = t

qui est exactement Σai (i∈S) = t et il montre f (x) ∈PARTITION

maintenant, nous allons également montrer que f (x) ∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

il existe donc S⊆ {1, ..., m, m + 1} st T = {1, ..., m, m + 1} - S et Σai (i∈T) = [a + (2t-a ) -t] = t

et il montre Σai (i∈T) = Σaj (j∈S) donc m + 1∈T et S⊆ {1, · · ·, m} et Σai (i∈S) = t

donc x∈SubsetSum

Cas 2: 2t = <a :

nous pouvons vérifier la même chose, mais cette fois-ci, am + 1 est a − 2t

— Behrooz Tabesh
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ce lien a une bonne description des deux réductions, partition à sous-ensemble-somme et sous-ensemble-somme à partitionner. Je pense que c'est plus évident que la réponse de YUVAL . lien utile

— user44970
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— Tom van der Zanden